[MÚSICA] [MÚSICA] Bienvenido otra vez al curso de álgebra básica. Continuamos con el tema de productos notables. Vamos a ver algunos más de ellos. Esto nos va a ser útil cuando veamos el tema de factorización. Veamos este ejemplo. Nos preguntamos cómo cambiará el volumen de un cubo si aumentamos en 2 unidades su lado. Vamos a resolver. Vamos a llamar a al lado del cubo entonces su volumen es a al cubo. Porque el volumen de un cubo se calcula haciendo el área de la base por la altura, el área de la base es un cuadrado de lado a entonces tenemos a al cuadrado multiplicado por la altura que en ese caso también es a, entonces a al cubo es el volumen del cubo. Si aumentamos en 2 unidades el lado entonces el volumen va a ser a + 2 elevado al cubo. Y sabemos que podemos escribir a + 2 al cubo como a + 2 que multiplica a a + 2 al cuadrado. Y ahora si desarrollamos a + 2 al cuadrado obtenemos que a + 2 al cubo es igual a a + 2 que multiplica a a cuadrada + 4a + 2 al cuadrado. Ahora vamos a desarrollar este último producto. La expresión a desarrollar es a + 2 que multiplica a a cuadrada + 4a + 2 al cuadrado. Haciendo el producto obtenemos a + 2 por a al cuadrado + a + 2 por 4a + a + 2 por 2 al cuadrado. Esto es a al cubo + 2a cuadrada + 4a cuadrada + 8a + 2 al cuadrado por a + 2 por 2 al cuadrado. Esto es igual a a al cubo + 6a cuadrada + 8a + 4a + 2 al cubo, es decir es a al cubo + 6a cuadrada + 12a + 2 al cubo. Lo que obtuvimos fue a + 2 elevado al cubo igual a a al cubo + 6a cuadrada + 12a + 2 al cubo. Observamos entonces que puesto que el volumen del cubo inicial era a al cubo, lo que aumentó el volumen al aumentar 2 unidades a cada lado será 6a al cuadrado + 12a + 2 al cubo. Si en el ejemplo anterior a es igual a 3 entonces tenemos que el volumen del primer cubo es 3 al cubo que es igual a 27, aumentando 2 unidades al lado el volumen del nuevo cubo será 3 + 2 elevado al cubo que es igual a 125, de tal manera que la diferencia entre 125 y 27 es lo que aumentó el cubo al aumentar su lado. Eso lo tenemos escrito como 6 que multiplica a 3 al cuadrado + 12 por 3 + 2 al cubo. Que es exactamente 98. Vamos a ver qué sucede en general. Vamos a desarrollar a + b al cubo de la misma manera que en el ejemplo. Vamos a efectuar el producto. Tenemos entonces que a + b al cubo es igual a a + b que multiplica a a + b elevado al cuadrado, es decir a + b que multiplica a a cuadrada + 2ab + b al cuadrado. Que es igual haciendo el producto a a + b por a al cuadrado + a + b por 2ab + a + b por b al cuadrado. Esto es a cúbica + a cuadrada b + 2a cuadrada b + 2ab cuadrada + ab cuadrada + b al cubo. Y ahora vamos a simplificar, esto es igual a al cubo + 3 veces a cuadrada b + 3ab al cuadrado + b al cubo. Observa entonces que la regla dice el cubo de un binomio es igual al primer término elevado al cubo + el triple producto del cuadrado del primero por el segundo + el triple producto del primero por el cuadrado del segundo + el cubo del segundo. Otro producto que aparece con frecuencia es el siguiente, vamos a verlo. Dice hay que desarrollar a + b + c al cuadrado, es decir tenemos el cuadrado de un trinomio. Escribimos la expresión como a + b + c por a + b + c y desarrollamos de la manera de siempre. Vamos a hacerlo. Tenemos a + b + c elevado al cuadrado igual a a + b + c que multiplica a lo mismo, a + b + c. Esto es efectuando el producto igual a a + b + c que multiplica a a + a + b + c que multiplica a b + a + b + c que multiplica a c. Y ahora hacemos los productos, esto será a cuadrada + ab + ac + ab + b cuadrada + bc + ac + bc + c al cuadrado. Ahora observamos que ab, ac y bc aparecen 2 veces cada uno. Simplificando tenemos a cuadrada + b cuadrada + c cuadrada + 2 veces ab + 2 veces ac + 2 veces bc. Así el cuadrado de un trinomio es igual al cuadrado del primero + el cuadrado del segundo + el cuadrado del tercero + el doble del producto del primero por el segundo + el doble producto del primero por el tercero + el doble producto del segundo por el tercero. O dicho de otro modo es la suma de los cuadrados de cada uno de ellos + los dobles productos. Aquí tenemos algunos ejemplos más. Queremos desarrollar 3x + 2r + 1 al cuadrado. Vamos a hacerlo. Aquí tenemos la expresión 3x + 2r + 1 todo al cuadrado, esto es igual a 3x elevado al cuadrado + 2r elevado al cuadrado + 1 al cuadrado que es 1 y ahora voy a poner los dobles productos, 2 por 3x por 2r + 2 por 3x por 1 + 2 por 2r por 1. Y ahora simplificamos, esto es 9x cuadrada + 4r al cuadrado + 1 + 12 rx + 6x + 4r. Vamos a ver otro ejemplo. Ahora tenemos 5a menos 2b menos 3 todo al cuadrado. Vamos a hacerlo. Tenemos 5a menos 2b menos 3 al cuadrado, lo único que tenemos que cuidar son los signos, para ello podemos escribirlo como una suma 5a + menos 2b + menos 3 todo elevado al cuadrado. Y después utilizar la forma como la teníamos es decir esto es igual a 5a elevado al cuadrado + menos 2b elevado al cuadrado + menos 3 elevado al cuadrado + 2 que multiplica a 5a por menos 2b + 2 que multiplica a 5a por menos 3 y por último + 2 que multiplica a menos 2b por menos 3. Esto es igual a 25 a cuadrada + 4b cuadrada + 9 menos 20ab menos 30 a y + 12b. Hay que tener cuidado con los signos. Todavía tenemos un ejemplo más, este dice 2r cúbica t menos b cuarta + 7w sexta x todo elevado al cuadrado, nuevamente es el cuadrado de un trinomio, solamente que los términos ahora 2 de ellos tienen 2 variables. Vamos a calcular. Aquí ya tengo escrita la expresión, vamos solamente a utilizar la fórmula, esto dice 2r al cubo t elevado al cuadrado + menos b cuarta elevado al cuadrado + 7a sexta x también al cuadrado + 2 que multiplica a 2 r cúbica t por menos b cuarta + 2 que multiplica a 2r cúbica t por 7 a sexta x + todavía + 2 por menos b a la cuarta que multiplica a 7 a la sexta por x, y ahora lo que nos falta es solamente la simplificación. Esto es igual a 4r sexta t cuadrada + b octava + 49 a a la 12 x cuadrada menos 4 b cuarta r cúbica t + 28 a sexta t cúbica t x menos 14 a sexta b cuarta x. Vamos a ver ahora una fórmula para a menos b al cubo. Por supuesto que podríamos desarrollar esta exactamente como lo hicimos en el caso de a + b es decir haciendo el producto a menos b que multiplica a a menos b elevado al cuadrado, pero es más fácil hacerlo si observamos que a menos b elevado al cubo se puede escribir como a + menos b y todo elevado al cubo. Y entonces utilizaríamos la fórmula para el cubo de una suma, vamos a verlo. Escribimos a menos b elevado al cubo como a + menos b elevado al cubo y vamos a utilizar la fórmula que teníamos para el cubo de una suma, entonces tenemos el cubo del primero + el triple producto del cuadrado del primero por el segundo + el triple producto del primero por el cuadrado del segundo + el cubo del segundo. Esto es a cúbica menos 3 a cuadrada b + 3ab cuadrada menos b al cubo. Es posible encontrar muchas más fórmulas, lo único que hay que hacer es calcular los productos entre los polinomios. Vamos a ver otro ejemplo. Aquí queremos desarrollar x menos y que multiplica a x cuadrada + xy + y al cuadrado. Vamos a hacer el producto. Aquí tengo escrita la expresión, solamente vamos a efectuar el producto, esto es igual a x que multiplica a x cuadrada + xy + y al cuadrado, menos y que multiplica a x cuadrada + xy + y al cuadrado y ahora efectuamos estos productos. Esto es, x cúbica + x cuadrada y + xy al cuadrado y ahora vamos a hacer el segundo sumando de esta expresión y lo único que tenemos que cuidar es que hay un signo menos afectando al y que va a multiplicar a todos los términos que están dentro del paréntesis, esto es entonces menos x cuadrada y menos xy al cuadrado y menos y al cubo. Y ahora observa que podemos simplificar, porque aparece x cuadrada y y menos x cuadrada y, entonces cancelamos y también tenemos xy al cuadrado y menos xy al cuadrado. De manera que lo único que queda es x cúbica menos y cúbica. Aquí vamos a notar algunos ejercicios que tu puedes resolver. Es importante hacer muchos ejercicios para que puedas tener cada vez más habilidad. Aquí está el primero, hay que verificar que x + y que multiplica a x cuadrada menos xy + y al cuadrado es igual a x cúbica + y cúbica. Este otro dice x + y que multiplica a x cúbica menos x cuadrada y + xy cuadrada menos y al cubo es igual a x cuarta menos y cuarta. Y por último x menos y que multiplica a x cúbica + x cuadrada y + xy cuadrada + y cúbica es igual a x cuarta menos y cuarta. Ninguno de ellos es difícil, solamente hay que hacer con cuidado los productos. [MÚSICA] [MÚSICA]