[AUDIO_EN_BLANCO] Hola, bienvenidos al módulo tres de equilibrio en redes de transporte. En este módulo, estudiaremos la conocida Paradoja de Braess. ¿Qué sucedería si cambia la red de transporte? Esa es una de las preguntas que uno siempre se hace. En general, uno piensa que si aumenta la capacidad, los tiempos de viaje deberían disminuir. Si agrego un nuevo camino, si construyo una nueva calle, si construyo una nueva línea de metro, esperamos que las cosas mejoren. O si cierro una vía, si tengo una calle con problemas, esto debería producir aumento en los tiempos de viajes de todas las personas. Entonces, la pregunta que se hizo Braess es, mostró una paradoja bastante interesante. Y voy a presentar el ejemplo, directamente, que Braess desarrolló. En esta red, en la red de la figura, tenemos 6 viajes, que van del nodo 1 al nodo 4. Los caminos tienen costos, los arcos de la red tienen costos, tal como se observa acá, el arco 1,2 tiene un costo igual a 10 veces el flujo que lleva, el arco 2,4 tiene un flujo igual a 50 más el flujo que lleve. El arco 1,3 tiene una misma, igual función de costos, 50 más el flujo que lleve. Y el arco 3,4 tiene un costo igual a 10 veces el flujo que lleva. La pregunta es, ¿cuál sería un equilibrio de usuario en esta red? Es fácil darse cuenta que por simetría, 3 viajarían por el camino de arriba y 3 por el camino de abajo. Y tenemos en total 6 viajes, 3 por arriba, 3 por abajo. Si miramos ese ejemplo, vamos a escribirlo acá. El caso original, equilibrio de usuarios original, le vamos a llamar a este. El flujo de la ruta 1 es 3 y el flujo de la ruta de abajo también es 3. El costo de viajar en la ruta 1 o en la ruta 2, en este caso, el costo de la ruta 1 es igual a 10 por 3 que son los usuarios que hay en ese arco, más 50 más 3 usuarios que hay en ese arco. En total 83, que es igual al costo de la ruta 2. En este caso es 50 más 3, más 10 por 3. 83. La pregunta que se hizo Braess, y que por eso se conoce así como Paradoja de Braess, es qué pasaría si agregamos un arco entre un camino para ir entre el nodo 2 y el nodo 3, y el costo de ese arco es 10 más X, por ejemplo. En este caso, podríamos buscar un nuevo equilibrio de usuarios. Este lo vamos a llamar equilibrio de usuario 1. Va a haber 3 rutas. La ruta 1, le voy a poner f1 a esa ruta. Voy a conocer una ruta 2, en que ustedes van primero al nodo 1, del nodo 1 al nodo 2, del nodo 2 al nodo 3 y de ahí al nodo 4. Y a este le vamos a poner f sub2. Y va a haber una ruta 3 que es la que teníamos originalmente como ruta 2, que va a ser igual a esto de acá, que básicamente es de ir al nodo 1 al 3, y del 3 al 4. Y a esa le vamos a poner un flujo 3. Si ustedes encontraron el equilibrio de usuario, se encontrarían que, en el equilibrio de usuario, los flujos de las rutas 1, 2 y 3 tienen dos vehículos viajando por cada uno de ellos, dos vehículos por hora, en este caso o la unidad que sea. Entonces, si esos son los flujos calculemos los costos de cada uno de los caminos. El costo del camino 1, va a ser igual a el flujo en el arco 1,2 que es igual al flujo de la ruta 1 más el flujo de la ruta 2. Por lo tanto es 10 por 4, más el flujo en el arco 2,4, que es 2, 50 más 2. Costo total 92. El costo de la ruta 2 es igual a 10 por 4, más 10 más 2, más 10 por 4, del arco 3,4. Total 92. Y el costo de la ruta 3 es, hay flujo en el arco 1,3 es 4, 50 más 4. Perdón, 50 más 2. El flujo en el arco 1,3 es 2, sólo la ruta 3 lo utiliza. Y el flujo en el arco 3,4 es 4. Por lo tanto es más 10 por 4. Total 92. Y lo que muestra esta Paradoja es que los usuarios pasan de demorarse 83 a demorarse 92, luego de que hemos construido un nuevo arco. En términos prácticos, si lo llevaramos a la calle, esto significaría que alguien construyó un camino que comunica 2 partes y la situación para todos empeora. Veamos otro ejemplo, también común en las ciudades. Supongamos que, originalmente, tenemos 2 caminos y tenemos viajes desde 2 regiones de la ciudad. Esto no es poco común, tenemos, por ejemplo, en la punta mañana viajes desde un sector hacia el centro de la ciudad, y viajes desde otro sector hacia el centro de la ciudad. El costo de viajar desde la zona 2 al centro de la ciudad es 200, tal vez es un camino no congestionado y, por lo tanto, el costo de ese arco no depende del flujo. Y el otro es un camino bastante congestionado, en que el costo depende del flujo y es 10 veces el flujo que lleva. SI calculamos el equilibrio de la situación inicial, que es esta que tenemos acá, el equilibrio es va a haber 10 viajes por la ruta 1, entonces el costo, vamos a calcular el costo total de este equilibrio. Hay 10 viajes con costo 10 por 10, 100; más un viaje con costo 200. Total 1200. [AUDIO_EN_BLANCO] Esa es mi situación inicial. Los usuarios de la ruta 1, el costo de la ruta 1 es 100. Y el costo de la ruta 2, que une la región 2 con el centro, es de 200. ¿Qué sucedería si agregamos un arco de costo 0 que una la región 2 con la región 1? En este caso lo que estaríamos haciendo es generando la conectividad de la gente que vive en la zona 2 a la zona 1. Proveyéndole entonces, la posibilidad de ocupar, tal vez, esta autopista que está congestionada. ¿Qué harían los usuarios de la zona 1? ¿Preferirían el camino de 200 o el camino que cuesta 100? Obviamente, preferirían el camino que cuesta 100. Ahora, como aumentamos el número de viajes en el camino que cuesta 100. ese camino deja de costar 100. Y ahora vamos a tener 11 viajeros en ese camino y, por lo tanto, el camino va a costar 110. Luego, nuestro nuevo equilibrio va a tener el costo de la ruta 1 va a ser igual a 110 y el costo de la ruta 2, que no lo va a ocupar nadie ahora, es 200. El costo total de esta solución va a ser igual a 11 por 110, más 0 por 200, 11 por 11, 121. Van a ser 1210. Por lo tanto, lo que mostramos acá, nuevamente, es que construyendo este arco hemos empeorado la situación total del sistema, el costo total aumentó de 1200 a 1210, perjudicando a 10 de cada 11 usuarios, pero estos sí ganaron mucho. Este es un ejemplo distinto al caso anterior, acá tenemos algunos que se beneficiaron, unos pocos se beneficiaron pero, muchos se perjudicaron. Y esto no es poco común en el sistema de transporte, donde tenemos alguna infraestructura bastante congestionada y le damos conectividad a nuevos usuarios a esa infraestructura. No solo pasa a nivel de autopistas, también podría pasar en líneas de metro. Si nosotros aumentamos la conectividad a un tramo cargado de la línea de metro podríamos inducir a este efecto, conocido como Paradoja de Braess. Algunos casos prácticos de la Paradoja de Braess. En Stuttgart, luego de inaugurar una autopista las condiciones de tráfico empeoraron y solo mejoraron una vez que cerraron esa autopista. Claramente, no es una situación que nos gustaría, nos gustaría evaluar y analizar la situación antes de construirla para evitar el gasto innecesario en este caso, para resolver problemas de transporte. Un proyecto contrario, en el caso de Seúl, en Corea, es donde se eliminó una autopista para construir un parque y el tráfico disminuyó un 2,3%. Este parque me tocó visitarlo el año pasado en Corea, en Seúl, y ahí tienen una foto de donde antes teníamos una autopista que dividía la ciudad, hoy existe un lindo parque en el centro de la ciudad. Oportunidades como esta, son bastante interesantes de analizar y uno puede, con técnicas de análisis de redes de transporte, descubrir algunos arcos que presentan estas condiciones. En resumen, ¿cuáles son las implicancias de esta Paradoja de Braess? Es que en una red de transporte, al agregar un arco, es posible que la situación empeore o al eliminar uno, es posible que la situación mejore. Esto se puede extender a ampliaciones o reducciones de capacidad en algunas calles o avenidas. Por ejemplo, a uno le gustaría descubrir en qué avenida reduciendo la capacidad, podríamos mejorar el sistema. Y esas avenidas son excelentes candidatas para conseguir espacio para ampliación de vereda, para creación de parque, para ciclovía, etcétera. Estas consecuencias pueden generar efectos indeseados o contraproducentes en los proyectos de transporte. La existencia de la Paradoja de Braess hace que no todo proyecto de transporte permita una mejora en el sistema. Por lo tanto, lo que vimos es un análisis de redes, antes de efectuar proyectos de transporte, para analizar sus beneficios. En resumen, lo que vimos en este módulo fueron la Paradoja de Braess, sus características y consecuencias, con algunos ejemplos.
