En esta ocasión me gustaría proponérles una construcción de una función, que como les comenté al final del video pasado no lo vamos a hacer a partir de la razón de cambio de la función. Acuérdense que allá, o sea, fue la velocidad ¿no? la que nos permitió construir a la función. ¿Okay? Eso esta muy de acuerdo con un acercamiento, digamos Newtoniano, al cáculo si embargo habrá ocasiones en que las funciones matemáticas se construyen porque están digamos, eh en otro tipo de contexto y no necesariamente en un contexto en donde veo la variación con respecto al tiempo o con respecto a otra magnitud. Me van a entender eh, si, si les digo ¿no? si se los muestro, ¿no? es un contexto mucho más geométrico ¿no? y lo voy a ilustrar. Lo voy a ilustrar haciendo uso ¿no? de mis manos, haciendo uso de una presentacion para tratar de hacerlo un poco más accesible ¿no? Eh, hemos encontrado también ciertos problemas cuando uno eh, tiene que accionar el pensamiento para construir funciones. Entonces la situación es la siguiente ¿no? Tiengo, tengo una longitud o sea de un digamos una cuerda, un cable, un un listón. Aquí está mi listón. Por eso me traje mi listón. you tenía antes ¿no? varias pruebas ahí para hacer y yo dije bueno a lo mejor este rojo lo pueden notar bien y este, lo que hice con este, cable, cuerda, listón fue hacerle un nudo. ¿Okay? Entonces porque la situación va a ser que tengo cierta longitud ¿no? de algún material fija, o sea esta longitud fija voy a juntar los extremos ¿no? Y entonces pues por eso hice mi nudo y aquí tengo you mi, mi cable, mi cuerda ¿no? mi alambre ¿no?, you unido por sus extremos. Entonces la longitud que ustedes están viendo ahorita, bueno el doble de esto, ¿no? porque tiene dos lados. Esa era la longitud original, ¿okay? Y esa longitud original no va a cambiar. Lo que sí voy a cambiar es que voy a estar haciendo algo como lo siguiente. Vean ustedes lo que estoy haciendo con mis dedos. No crean que me voy a poner a jugar. Es algo así. Míren. Si yo ahorita meto solamente mis dedos, tengo prácticamente el cable o el listón uno encima del otro. Pero si pongo los dedos y empiezo a hacer una abertura tratando de mantener las cosas, o sea lo que tendría es como un rectángulo. No sé si se vea casi un rectángulo ¿no? Y este rectángulo tiene una cierta base y una cierta altura ¿no? Pero esa base y esa altura, si yo modifico la altura de mis dedos, la puedo modificar y entonces ahora tengo otro rectángulo con una base más pequeña y con una altura este, mayor. ¿Cierto? ¿Okay? Tendría que tener mis dedos muy, muy largos ¿no? como para poder hacer algo así. you tendría yo que cambiarle de esta manera tratando de simular con ustedes que ahora la base del rectángulo es todavía más chiquita y la altura es mayor. El extremo sería tener algo mas o menos así donde you se juntaron los dos ¿no? las dos mitades de los, del, de la cuerda o del listón en este caso. Este tipo de juego ¿no? de estar variando así me permite pensar en la posibilidad de tener diferentes rectángulos ¿si? Estoy haciendo distintos rectángulos y cada uno de esos rectángulos tiene un área que encierra. ¿okay? Todos los rectángulos tienen el mismo perímetro, porque los hice con el mismo listón ¿okay? Y nuestra mente, eh, esto es algo que hemos estado estudiando en esto que les digo de la investigación en matemática educativa. Nuestra mente es tendiente a asociar que si el perímetro es el mismo, pues entonces el área va a ser la misma. O sea ¿por qué no? O sea, como que las cosas, uno quisiera que fueran todas así como que simples ¿no? y la verdad es que no es así. O sea tenemos que romper digamos, con esa idea. Tenemos que ser más analíticos y pues ver que realmente que el área, el área que encierra el rectángulo, el que yo escoja, va a depender de qué tanto abrí los dedos, o de qué tanta base le dejé al rectángulo. Entones yo tengo aquí una animación que creo que va a ser más clara de lo que mis dedos aquí puedan hacer. Y entonces me gustaría que me acompañaran en la animación para construir una función, ¿si? Aquí tenemos entonces una cuerda. Aquí dice una cuerda de 100 centímetros. Vamos a poner esta longitud fija que sería bueno pues, la longitud cuando tenía mi listón este, sin amarrar. ¿Okay? Y vamos a construir distintos rectángulos. En esta animación lo que hice fue juntar los extremos y utilizar esos lápices para tratar de que ustedes vean ¿no? esa formación de los rectángulos, entonces esos lápices se mueven mucho mejor que mis dedos y ahí se está viendo la situación, cómo se forman diferentes rectángulos. Y esos rectángulos, bueno, vamos a verlos más detenidamente. Vamos a ver cómo se forman diferentes rectángulos. Ahí dejamos you una imagen ¿no? de algunos de ellos, ¿si? Todos esos rectángulos, eh, tienen el mismo perímetro, porque se hicieron con la misma cuerda pero vamos a analizar alguno de ellos. Esta construcción de este obedecería a que puse los lápices de esta manera de tal forma que, pues aquí le medimos y nos quedaron, digamos unos 10 centímetros. Y después medimos acá y nos quedaron 40 centímetros ¿si? Tiene que ser, porque 10 más 40 son 50, y este otro 10 más este otro 40 dan los otros 50 que me dan el 100 en total. Entonces you con eso tengo un rectángulo cuya área va a ser ¿qué? 400. ¿Por qué? porque multiplicamos el 10 por el 40. Entonces tendríamos 400 centímetros cuadrados encerrados por ese rectángulo ¿no? Pero igual pudimos haber escogido otro, como este. Y al escoger ese en la formación del rectángulo, se hizo esto ¿no? se hizo esa asignación y ahora por ejemplo si le medimos aquí, tendríamos un 22, 22, y luego tendríamos en su altura un 28 ¿verdad? Y al hacer la multiplicación tenemos un 616, comprobado. Ahorita tenemos que aceptar que las áreas de los rectángulos no son iguales, ¿no? vamos a escoger uno último. Tenemos otra vez nuestros 100 centímetros y lo ponemos ahora, un rectángulo así de esa forma donde nos traemos nuestra regla. Medimos aquí 35 centímetros. you se imaginarán cuánto va a medir la altura. A ver. Tiene que ser un 15 ¿verdad? para que sea que sumados me den el 50, que sería la mitad de la longitud del cable. Al hacer la multiplicación tenemos un 525 ¿no? Entonces tenemos tres casos. Estos tres rectángulos tienen el mismo perímetro. Hagan de cuenta que son tres de los que hice yo con mi, con mi listón. you tenemos diferentes valores de área, y entonces está comprobado que el área depende de la longitud digamos, de la base, podríamos decir de la longitud de la base ¿no? Aunque su perímetro es el mismo, dice los valores de las áreas son diferentes, ¿si? ¿Qué vamos a hacer ahora? Vamos a pensar en un rectángulo cualquiera. Y eso es pensar matemáticamente. Es generalizar. Es simbolizar, ¿no? O sea, vamos a decir el área está formada por el producto de la base y de la altura ¿okay? y esa base y esa altura se tienen que multiplicar para dar lugar al cálculo del área, ¿okay? Este tipo de simbología que tienen aquí, créanme que la matemática tuvo su época. En un principio así se simbolizaban las matemáticas ¿no? Las variables ¿no? Llega un momento en que uno tiene que hacer eso, ¿Vieron lo que pasó? Esa área la comprimí en una y esa base en una x, y esa altura en una h, no porque altura tenga h. La altura no lleva h, pero es digamos una herencia ¿no? del inglés aquí, y entonces tenemos que y es igual a x por h, ¿no? y como que you no las palabras, juntamos las letras para que nos quede nuestra expresión más compacta. Entonces vean ustedes como en este momento lo que hice fue simular ante ustedes un proceso mental en donde la noción, el contexto de área, base, altura se concretan en letras. Letras que se unen y forman una expresión matemática como esta. Claro que en esa expresión matemática nosotros you sabíamos algo más de información. Que el perímetro era 100. ¿Y cómo podríamos escribir esa información con nuestras letras? Pues como lo hicimos en cada uno de los casos ¿no? Tendríamos una longitud x que está en la base. Una longitud h que está en la altura del rectángulo. Otra longitud x que estaría en la, en el to, en la, encima del rectángulo, y otra altura h, ¿no? Nos quedaron x más h más x más h, y nosotros somos buenos para igualar esto y sumar ¿no? Porque x más esta x las vamos a poder juntar en dos x y h más h van a ser dos h. Eso es lo que voy a hacer con la animación. Vean ustedes el siguiente paso fue juntar dos x y dos h igual a 100. Aquí lo que voy a hacer es algo que you también les ha, he estado remarcando de hacer una factorización a este número 2, y este número 2 se pueden juntar en un solo 2 que se abre un paréntesis para multiplicar x más h y esto nos va a dar igual a 100, ¿de acuerdo? ¿Y ahora qué vamos a hacer? Este número dos que está aquí lo vamos a traer dividiendo al 100 para que nos de un 50 ¿no? y entonces tenemos una expresión matemática que nos dice que la suma de x y h es 50. ¿recuerdan? esto fue algo que apareció cuando estuvimos haciendo cada uno de los rectángulos. O sea cuando uno elige un valor de la base del rectángulo inmediatamente you está condicionado ¿no? el valor de la altura del rectángulo a sumar, junto con la base, un 50. Entonces con esta expresión podemos despejar la h ¿no? y tener entonces que la expresión que teníamos acá arriba ¿no? la que estábamos construyendo para calcular el área la podemos hacer na, solamente en términos de x. ¿Cómo? Vamos a traernos nuestra área y en ese lugar sustituímos la h ¿no? La h se sustituye por 50 menos x y entonces nos quedó esta expresión en términos de x ¿no? O sea, lo que hemos construído ahorita es una función. ¿Okay? es una función que you usando la notación de la función, no se estaría calculando el área de un rectángulo cuya base sea x ¿no? Esta expresión matemática les digo, es el final de un proceso de pensamiento ¿no? que culmina en una expresión para prede, para predecir ¿no? en términos de Newton. Ahorita esa expresión no la construimos a raíz de tener la eh, derivada, de tener la razón de cambio, o de tener la velocidad de construír la función arriba de antiderivar, sino que la construimos en términos de lo geométrico, de lo que está pasando con la situación en particular, ¿okay? ¿Qué preguntas podríamos hacernos al respecto? Bueno yo ve, a mi me gustaría que ahorita retomáramos acá con esta función, lo que pudiera estar pasando, lo que sería su representación gráfica ¿no? Tengo una expresión matemática. Esa expresión matemática es y igual a. La están ustedes viendo en la pantalla, es y igual a f de x, igual a 50 x, menos x cuadrada. Vean ustedes como tenemos aquí construida una función, incluso podemos decir que es una función cuadrática ¿no? Esta función la construimos por este contexto geométrico ¿no? que hemos tratado cuando estuvimos hablando de la construcción de un rectángulo. Qué curioso, cómo sucede en matemáticas. El problema era de un rectángulo, y lo que nos quedo acá es una función cuadrática, cuya gráfica es una parábola ¿no? La parábola está apareciendo en este contexto ¿no? para dar lugar ¿no? al análisis de una situación de variación también. Solamente que en este caso es la variación del área con respecto a la longitud de la base del rectángulo. La diferencia con este video ha sido que en esta situación no fue la razón de cambio la que nos dijo cómo es la magnitud. Si se fijan no fue una velocidad la que construyó eh, la altura por ejemplo como en el paquete que se dejaba caer del globo ¿no? sino que más bien fue una situación geométrica que nos invitó a pensar en una relación entre en una magnitud que es el área del rectángulo y la otra magnitud que es su base ¿no? Igual llegamos a una función cuadrática. O sea, ese es el poder también de la matemática. Allí está you el objeto matemático general. Una función cuadrática que tiene su razón de cambio también. Tendrá su derivada ¿no? Tiene su gráfica, y esa gráfica y esa derivada nos van a informar plenamente de todo lo que queramos saber acerca de la situación. Yo creo que esta video ha sido suficiente como para haber agotado este problema de construir una función. Una función en un contexto netamente geométrico ¿no? you hemos visto que hay relación entre áreas y bases de rectángulos y ahora pues, demos paso a que retomemos esta nueva, esta función cuadrática. Pero para contestar preguntas como lo hemos hecho en los otros contextos. Los invito en el siguiente video a que lo hagamos. Dejemos ahora el recuerdo ¿no? de esta función cuadrática que apareció en un contexto distinto de los que hemos estado utilizando en el curso. Los veo entonces.
