Seguimos entonces con esta situación de los tanques. you nos habíamos quedado en que el tanque de agua tendría un nivel que iba bajando, que iba a llegar a un nivel mínimo y que luego iba a subir. you sabíamos que a los 7 segundos se llenaba completamente. Andábamos en la búsqueda de aquel tiempo en el que el nivel era el mínimo. Para eso nos fuimos a un graficador, nos fuimos nuevamente con el software Simcalc. Tengo aquí la imagen que teníamos en ese momento,.Ya estamos viendo aquí el gráfico de la razón de cambio del nivel con la aportación de las dos llaves. O sea este es un menos 2 más 4t. Ahorita you puse hasta el tiempo t en nuestro gráfico porque en el tiempo t igual a 7 es cuando el tanque se llenó. Por acá tenemos el nivel del agua representado y vean ustedes como el nivel original era 16 y aquí se ve como está bajando y luego sube para llegar a este valor máximo del 100, cuando se llega a llenar completamente. Y you. Perdemos you el contacto con el fenómeno, de estar viendo lo que sucede con el nivel. Entonces ahorita, en esta representación conjunta de ambos gráficos, esta es la aportación de Simcalc para que en nuestra mente pongamos en funcionamiento la relación entre ambos. ¿Qué es lo que está pasando en la razón de cambio para que el nivel llegue a ese valor mínimo? Creo que sería recomendable que hagamos una imagen de esto. Vamos a cerrar esta de aquí y le vamos a pedir que nos haga una nueva Y en esta imagen vamos a poner ambos gráficos juntos. Y vamos a tratar de aclarar un poquito las cosas. Probablemente ustedes you lo han, lo han platicado un poco, lo han pensado. Pero lo que nos está pasando es que de aquí. Voy a usar una pluma azul. Aquí en el gráfico de la razón de cambio les estoy poniendo una flecha para llamar su atención a un lugar. Este lugar, a donde quiero llamar su atención con tono azul, ¿Qué es lo que está diciéndome ahí? ¿Qué dice? ¿Qué dice ese lugar? Me está diciendo un valor de t. Es un t donde qué, donde el gráfico de la razón de cambio es igual a 0. Esta gráfica de la razón de cambio. Déjenme cambiarla aquí, esta de aquí es r de t igual a menos 2 más 4t. No, sí. No más 4t, así era. ¿Verdad? Menos 2 más 4t. Entonces lo que estamos viendo es el valor de t donde la r de t es igual a 0. ¿Por qué digo igual a 0? Pues porque es el momento que está sobre el eje horizontal. Ahí la razón de cambio es igual a 0. En ese momento se observa que hubo un cambio de signo en la razón de cambio. Vean como aquí abajo antes en negativo y después es positiva la razón de cambio. Justo donde cruza el eje pasa de una zona negativa cruza y llega a una zona positiva. Porque estoy viendo la gráfica roja, digamos, abajo del eje, eso es lo negativo, y arriba del eje horizontal, eso es lo positivo. Entonces cuando eso lo interpretamos en el gráfico del nivel tendríamos que decir que para la zona negativa el nivel tiene que decrecer. Recuerdan, esas son cosas que you hemos visto antes. Decrece y luego crece. Decrece y luego crece. Decrece en todo el tiempo mientras que la razón de cambio se mantenga negativa. Es como una velocidad negativa. Y va a crecer el gráfico de nivel en todo instante donde la razón de cambio del nivel sea positiva. En ese sentido, nuestro lugar, que nos daría la respuesta, es justo el valor de t donde r de t es igual a 0. Vean ustedes como ahora en nuestra mente hay dos gráficas. Aquí está la otra gráfica que también tiene su expresión algebraica. Que es h de t igual a qué, 16 menos 2t más dos t cuadrada. Tengo dos expresiones algebraicas, tengo gráifcas. Pero los tengo acomodados justo como debo acomodarlos. Tengo una razón de cambio que me está diciendo cómo es el nivel. La razón de cambio, la izquierda, me dice cómo es la gráfica que está a su derecha. Ella me va a dictar el comportamiento de aquí a acá. Entonces la razón de cambio igual a 0 aquí me va a decir cuando el nivel sea el mínimo. ¿Cómo vamos a encontrar el valor en donde la razón de cambio es igual a 0? Pues ¿cómo? Pues igualando. Poniendo ahora en funcionamiento nuestra álgebra con un propósito muy particular. Entonces vamos a hacer que la razón de cambio sea 0. Esto nos va a llevar a que menos 2 más 4t sea igual a 0. 4t es igual a 2. ¿Cierto? Lo pasé del otro lado, dividiendo. Y de ahí t es igual a 2 entre 4 que da tanto como 1 medio. O el punto 5, si quieren le podemos poner un punto 5. Nosotros somos buenos con las decimales. Podríamos poner el punto 5 podríamos poner el racional un medio. you sabemos en qué instante debe de ser cuando el nivel llegue a su valor mínimo. ¿Cómo contestamos ahora cuál es ese valor mínimo? Pues ese valor mínimo lo vamos a contestar con nuestra expresión. Este valor de t tiene que venir acá. Tiene que venir acá. Y entonces el siguiente procedimiento algebraico ¿cuál va a ser? El próximo procedimiento va a ser evaluar la función. Vamos a calcular el nivel en punto 5. Me gustaría regresar al gráfico del nivel que you teníamos. Para que sobre él hagamos las operaciones. Si me acompañan aquí en la presentación, you había hecho yo aquí una, tomado una imagen para recordar lo que hicimos con el graficador y recordar nuestra pregunta. you respondimos en qué instante llega a un nivel mínimo y cuál es ese nivel. El nivel mínimo you lo contestamos, ¿verdad? Ese you lo tenemos. ¿En qué instante? La respuesta fue en los, el instante que sacamos de aquí. A los t igual a punto 5 segundos, a la mitad de segundo. Lo que nos falta ahora es cuál es el nivel mínimo. Para eso lo que hicimos, lo que vamos a hacer más bien es considerar este valor, que you sacamos del tiempo y evaluar la función del nivel. Entonces eso es lo que hacemos enseguida. Vámonos aquí. Y en t igual a punto 5 vamos a evaluar en nivel en punto 5. El nivel en punto 5 es igual a 16 menos 2 por punto 5. Más 2 por punto 5 al cuadrado. ¿Qué nos va a quedar aquí? Nos va a quedar un 16, menos dos por cinco es... punto 5 es 1. Más 2 por punto 5 al cuadrado, punto 5 al cuadrado es punto 25. Entonces nos queda un 2 por punto 25. Entonces nos va a quedar, 16 menos 1 son, 15 y dos por punto 25 nos queda un más punto 5. Total esto va a ser tanto como 15.5 y esto son centímetros. Entonces qué podríamos decir nosotros. Aquí, en el gráfico. Me voy a devolver al gráfico, mi vista lo está haciendo. Aquí, en este lugar, yo puedo decir: hay un tiempo punto 5 y hay un nivel asociado con ese tiempo. Que es 15.5. Entonces nuestro nivel, en el tanque, originalmente era 16. Bajó durante medio segundo. Bajó hasta el nivel de 15.5 centímetros. Y en ese instante vuelve a subir. Y sube y sube hasta que a los 7 segundos llega al valor 100. En ese momento el tanque se ha llenado y si el tiempo sigue corriendo el agua se desborda. Me gustaría que regresáramos ahora al graficador. Nos vamos a ir al software Simcalc porque quisiera mostrarles algo con él. No es tanto que uno esté hablando de tanques, o de movimiento sino el hecho de que, apoyados en esos contextos reales, nuestra cabeza está haciendo asociaciones con las matemáticas: con ecuaciones lineales, con ecuaciones cuadráticas, con funciones lineales, funciones cuadráticas. Y sobre todo ahorita con una conexión entre la razón de cambio y la función. you lo habíamos hablado con anterioridad. Llegaremos nuevamente a nuestro lenguaje de función y derivada. Pero antes, vean ustedes la imagen. Esta imagen es la del tanque. Este momento fue crucial ahorita en el movimiento del nivel, en el movimiento que se describe arriba abajo. Pero si ustedes se fijan aquí dice Paseo Tipo MUA, mua. Realmente aquí tengo esta, hundida, escondida ¿a quién? A nuestra niña. ¿Por qué la tengo allí escondida? Porque realmente los gráficos corresponden también con un movimiento. Yo le cambié aquí el término razón de cambio. Pero puedo volverlo a cambiar y pesar que esto es una velocidad. Y eso tiene ahorita la palabra nivel, pero lo podemos cambiar y le pondríamos ahora la posición. De esta manera lo que estaríamos haciendo es viendo, digamos en el contexto de movimiento lo que pasaba con el nivel. Entonces me gustaría que viéramos los gráficos como los teníamos. No alcanza completamente pero ahí se ve donde está el corte. En el punto 5 para la razón de cambio que ahorita hay que pensar en la velocidad. Y acá tenemos el caso del nivel, pero en este caso sería la posición de la chica cuando está obedeciendo a este tipo de velocidad. Si en este momento acciono la, al movimiento, la simulación de movimiento, vean lo que va a pasar. Hubo un instante, bueno, de hecho no fue un instante, hubo medio segundo en el que la chica se movió hacia la izquierda. Va de nuevo. Vean ustedes, ahí está en la posición 16 pero realmente iba a la izquierda y luego se regresó a la derecha y luego you va ahí cada vez más rápido. Esto nos está sugiriendo que pensemos en lugar de ella en el nivel. Lo que yo quisiera es que pudiéramos hacer esa traslación, o transferencia entre distintos contextos. Ahorita veo a la chica moviéndose. Hace ratito estaba el nivel moviéndose. La chica se mueve a la izquierda. Y luego se mueve hacia la derecha. Cualquiera que vea esa animación va a decir: pues sí, primero se movió a la izquierda y luego se movió a la derecha. Esa es parte de la historia. Pero ahorita seríamos capaces de decir todavía un poquito más en esa historia. Podríamos decir que esta chica se movía hacia la izquierda pero cada vez más lento. Y se paró para seguir hacia la derecha y siguió cada vez más rápido. No sé si alcanzaron a percibir lo que introduje más en el lenguaje. La chica iba hacia la izquierda. Lo voy a tener que decir rápido porque dura medio segundo. Va a la izquierda cada vez más lento, se para y luego va a la derecha cada vez más rápido. Va de nuevo. ¿Qué vamos a decir? La chica va a la izquierda cada vez más lento, se para y luego va a la derecha cada vez más rápido. Hemos entonces introducido esto de la rapidez dentro de la descripción de ese movimiento. En ese mismo sentido ahora podemos aplicarlo al caso del nivel. El nivel estaba bajando cada vez más lento. Hay un instante en que se detiene, en un instante. Y a los punto 5 de segundo. Y en ese mismo instante comienza a subir el nivel cada vez más rápido hasta que llega al valor 100. Hasta que llega a quedarse como tenemos aquí a la chica. Aquí como la tenemos ahorita. Paradita en la posición 100. Porque sería el momento en que el nivel llegó a ese valor máximo de 100. Entonces ¿cuál es mi intención con esto? Mi intención es decirles hemos estado trabajando con tanques, hemos estado trabajando con el movimiento. Nuestra idea con esto es ponerles a ustedes a la matemática en distintos contextos donde nuestra percepción del movimiento de ese fenómeno, del movimiento del llenado de tanques, nos permita decir cosas, nos permita firmar cosas, nos permita hacernos preguntas y provocar responderlas. Y al responderlas lo que ha salido como necesario es el conocimiento matemático. En este caso de la función cuadrática y de la función lineal. Yo los espero para que en la siguiente de nuestras presentaciones sigamos ahondando en este sentido y tratando todavía aún más de generalizar todo lo que hemos aprendido en los contextos de los tanques, y del movimiento. Los espero entonces.
