Pues you entrados en esto de lo algebraico y de lo gráfico y conectarlo, a la mejor ahorita ustedes dicen "¡Otra vez no!" pero bueno, tenemos que hacerlo. Es un mal necesario. Entonces, yo quisiera que hiciéramos el ejercicio. Nos faltaban dos parábolas ¿Se acuerdan? La verde y la roja. ¿Okay? Y quisiera, que hiciéramos otra vez el ejercicio de esta estrategia para graficarlas y al mismo tiempo comprobar nuestros procedimientos algebraicos y numéricos. Entonces, vamos a ver la imagen y les voy a proponer, así como en los circos, sería un circo de tres pistas, éste va a ser de dos pistas ¿Como vamos a hacer que de dos pistas? Que al cabo la azul you la hicimos. Entonces yo les voy a decir, vamos a hacer una cosa como esta ¿No? La gráfica de la parábola verde, si bien recuerdo, es esta ¿No? O sea ésta, la verde la que tiene que ver con esta expresión. Vamos a circularla aquí ¿No? Y la gráfica roja tiene que ver con la expresión que estaba justo arriba ¿No? Sí, entonces esta roja tiene que ver con ésta y con ésta ¿Okay? Entonces vamos haciendo las cosas y al mismo tiempo ir observando las diferencias entre ellas ¿Okay? en cuanto como salen las ecuaciones, los números y los puntos así. Entonces, vamos a tomar ahorita que traigo you el color rojo en la pluma. Tomemos la función roja. Nuestra función roja es y de x, igual ¿A qué? A menos un tercio de x cuadrada, más 10 tercios de x, menos 28 tercios. Es un menos 28 tercios ¿No? Y en esa función lo que nosotros vamos a hacer ¿Es qué? Encontrar el vértice. O sea ahorita andamos buscando este punto de aquí. Para eso andamos encontrando primero éste ¿No? Y entonces sacamos su derivada. La derivada va a ser ¿Qué va a ser? Menos 2 tercios, de x. Pasé el 2 multiplicando, más 10 tercios ¿No? ¿Y qué hacemos con esta derivada? Pues la igualamos a 0 ¿No? Hacemos y prima de x igual a 0, y nos queda la ecuación lineal que sería menos 2 tercios de x más 10 tercios igual a 0. De aquí podríamos hacer el despeje más simple si dejamos el 10 tercios de este lado y pasamos el 2 tercios you positivo de este otro lado. Y en este momento, acuérdense, mi consejo. Este tres, bien, una puede ser que ustedes digan "you, este 3 se va con este 3". Sí se vale. Porque estamos haciendo la, a como multiplicar todo por 3 ¿No? Puede ser así. Otra es lo que les he aconsejado. Este 3 que está dividiendo, va a pasar con el 10 multiplicando ¿No? y entonces se va a cancelar con este 3 y you, otra vez se fueron los 3. Entonces, de una o dos maneras, o sea como quiera podemos hacer el despeje y nos va a quedar siempre que 2x es igual a 10. you lo vi como en un espejo y finalmente x es igual a 5 ¿No? ¿Estamos bien o no estamos bien? Ahí se ve que es el 5, ¿De acuerdo? Vamos a hacerlo en este momento pero vamos a hacerlo con nuestra gráfica la verde ¿Ok? Entonces voy a cambiar al tono verde y escribimos menos 4x cuadrada más 8x menos 4 igual a 0. Aquí estaría nuestra función y de x es igual a menos 4x cuadrada más 8x menos 4 igual a 0. La derivamos, y al derivarla ¿Qué nos va a quedar? Menos 8x más 8. La igualamos a 0, a la derivada, y nos queda la ecuación lineal menos 8x más 8 igual a 0. De ahí que 8x lo voy a ver en un espejo de una vez, es igual a 8x es igual a 1 ¿Sí? Comprobamos, ¿Vamos bien o no vamos bien? Vamos muy bien. Ahí está el 1. you lo encontramos. Parece un 2, es un 1. Okay. Entonces ahí tenemos ese 1 you. (Déjenme ver si lo puedo borrar. Perfecto) Ahora lo que vamos a hacer. Volvamos con la roja. ¿Qué tenemos que hacer ahora? Vamos a evaluar la función para encontrar la coordenada y del máximo ¿No? Entonces aquí hacemos y de 5. Y este y de 5 nos hace que pongamos ¿Qué? Menos un tercio por un 5 al cuadrado que es un 25. Más 10 tercios por un 5 menos 28 tercios ¿Sí? O sea que va a ser igual a esto. Pues tendríamos tantos como menos 25 tercios más 10 por 5 son 50 tercios, menos 28 tercios. Aquí you estoy notando lo que les he dicho. Aquí hay una mitad a 50, le quito 25 y nos quedan 25 tercios aquí. 25 tercios positivos, menos 28 tercios y esto nos va a dar un... ¿Un qué? Pues nada más que un menos 3 tercios ¿No? Y ese menos 3 tercios es igual a menos 1. ¿Cómo vamos? ¿Vamos bien o no vamos bien? Ahí está, es el menos 1. Entonces podríamos you poner que aquí el vértice es 5 coma menos 1 ¿Vamos bien? Vamos a cambiar el tono. Ahora nos pasamos a la otra pista verdad con el tono verde y ahora vamos a evaluar nuestra y en 1 ¿No? Pues muy fácil ¿No? El uno es muy fácil. Menos 4x cuadrada sería menos 4 por 1 más 8 por x más 8 por 1, menos 4 ¿No? ¿Entonces que nos va a quedar? Menos 4 más 8 es 4 menos 4, 0. ¿Cierto? Y entonces nuestro punto máximo va a estar en... Ahí está, es en el 0. Entonces las coordenadas de este punto serían ¿Qué? (1, 0). Hemos encontrado las coordenadas del vértice haciendo uso de nuestra derivada. ¿Okay? ¿Qué nos sigue ahora? Encontrar los cortes con el eje x ¿No? Vamos a poner aquí. Esta información fue para vértices y en este caso esos vértices son máximos ¿No? Puntos máximos en las gráficas. Vamos ahora entonces a proceder a encontrar los cortes con el eje y. Ese sería nuestro siguiente paso. Vamos a encontrar los cortes con el eje y de nuestra parábola roja. Vámonos a la pista roja. Yo les digo que sacar los cortes con el eje y es algo mucho más sencillo que los cortes con el eje x. ¿Por qué? Porque en el eje y la x vale cero, y entonces lo único que tenemos que hacer es meter en x el valor 0. O sea evaluar la función en 0. Entonces vamos a hacerlo aquí. Como aquí tengo la función. Es más, la tenemos desde acá. Recuérdense ustedes en esta función cuando yo evalúo aquí en 0, este 0 al cuadrado y este 0 aquí nos va a dar solamente este término ¿No? Es más no hay necesidad de escribir tanto. El corte con el eje y sería evaluar y en 0, y eso nos va a dar menos 28 tercios para nuestra gráfica roja, ¿No? ¿Cómo lo hice? Lo hice pensando en que en mi expresión metí el 0 en x y me quedó un 0 acá y el término menos 28 en tercios ¿No? Podemos comprobar. Un menos 28 tercios casi es menos 29 tercios ¿Que es un qué? 27 tercios, perdón que es un menos 9. Y ahorita se ve más o menos que el gráfico sí está cortando acá más abajo ¿No? Okay, vámonos ahora a la otra pista. Entonces vámonos con el tono verde y evaluamos nuestra expresión en 0 también ¿No? Nuestra expresión en el tono verde era más fácil. Metemos otra vez aquí el 0, aquí el 0, todo esto va dar 0 y nos queda un menos 4 ¿No? Y entonces aquí tenemos y de 0 es igual a menos 4. Nos vamos para acá arriba y vemos en el tono verde que ahí está, justo en el menos 4 donde está el corte con el eje y. Adelante seguimos ¿No? Ahora nos vamos a ir a sacar con los cortes con el eje x en la pista roja. No se cansen. No se preocupen todo va a salir bien. Entonces vamos a poner aquí cortes con el eje x ¿No? Estos cortes con el eje x son los que nos van a hacer relucir nuestra habilidad para resolver ecuaciones cuadráticas. ¿Por qué? Porque lo que vamos a hacer ahora es igualar a cero la función. O sea quiero sacar las Y's igual a 0 ¿No? O sea ando preguntándome por qué x. O sea vean ustedes el eje. Aquí está la imagen. ¿En qué valor de x la y es 0? ¿Okay? Entonces igualamos a cero la expresión roja y esto nos lleva a que (déjenme ver la expresión, Okay) es menos un tercio de x cuadrada menos 10 tercios de x menos 28 tercios, es igual a 0. ¿Los tres eran negativos? Creo que no. El de en medio era positivo, sí. Ese signito aquí puede cambiar ¿no?, como you sabemos, garrafalmente las cosas. Yo les diría en esta expresión, sigan el consejo: multipliquen todo, todo, todo por menos 3. Porque así nos quitamos de los denominadores y de los signos negativos que son dos negativos ¿No? Nos va a quedar un negativo nada más Entonces la expresión que quedaría sería x cuadrada menos 10x más 28 ¿No? Y en esta expresión, al igualar a 0, tenemos una ecuación cuadrática más sencilla. Usemos nuestra fórmula general y nos va a quedar que x es igual a la menos b, que es un 10 más menos la raíz cuadrada de b cuadrada que es un 100 menos 4 por a que es 1, por c que es 28 ¿No? Y en este momento yo you me estoy dando cuenta que aún y si yo no hubiera visto el gráfico, esto va a salir negativo ¿No? Porque el 4 por 28 es más que 100. Es más, ¿Es cuánto? ¿Que sería? 4 por 8, 32. Okay, 112 ¿No? Entre 2. Y esto nos daría un 10 más menos raíz de menos 12. ¿Okay? Entre 2. En este momento puedo parar y decir ¡you! Son números complejos y entonces esta gráfica no va a cortar. Ciertamente, no corta. Vean ustedes. No corta el eje x ¿No? Pero hagamos uso de nuestras habilidades también y entremos con coraje ¿No? y veamos como podemos expresar esto como números complejos también. O sea, en realidad tenemos aquí un 10 más menos un 12. Un 12 es un 4 por un 3. Yo puedo escribir aquí este como un radical de un 4 por un 3 por un menos 1 ¿Cierto? Todo eso me va a dar menos 12 entre 2 y de esta manera tendría mi expresión como 10 más menos 2 raíz de 3 por i. O sea, el 4 sale como un 2 de la raíz. Este 3 se quedó encerrado en la raíz y esta i pues es raíz de menos 1. Todo esto entre 2. Finalmente escojo estos dos, hago esta división. 10 entre 2 da 5 más menos. Y esta división 2 raíz de 3 entre 2 me va a quedar raíz de 3 i. Fuimos capaces incluso de expresar las soluciones complejas ¿No? de nuestra ecuación cuadrática que estábamos aquí proponiendo con la intención de ver los cortes con el eje x de la parábola, los cuales you dijimos, no existen. O sea ¿Por qué? ¿Porqué no hay número real que cumple esta ecuación? Sí hay números que satisfacen la ecuación en el campo de los números complejos, pero en este caso para los números reales no existe solución. Por eso la gráfica no corta. Vámonos al último de nuestros pasos algebraicos ¿Cuál sería? Que tomáramos nosotros nuestra gráfica verde y veamos dónde corta al eje x ¿No? Nos traemos su ecuación. Déjenme tratar de verla aquí. Déjenme tomar el tono verde, nos cambiamos de la pista, y entonces vamos para acá siendo que y de x es igual a 0. Y eso nos quedaba un menos 4x cuadrada, creo que más 8x menos 4 igual con 0. Ahorita lo confirmo ¿No? En esta parte de aquí, sí es. Al hacer esto igual a 0 ¿Que nos va a pasar? ¿No? Nos vamos...tendríamos que pues aquí yo no les diría que multipliquen. Yo les diría que dividan mejor. Si dividimos esto entre menos 4, entonces lo que podríamos tener es una expresión más sencilla del tipo (vamos a ponerle aquí todo, para que recuerden lo que estoy haciendo aquí) todo entre menos 4. Entonces nos queda x cuadrada menos 2x más 1 igual a 0. Podrá ser que tenga entre ustedes algunos buenos algebreístas que digan ése el el binomio al cuadrado", perdón, el "trinomio cuadrado perfecto" o sea es el producto, oel binomio x menos 1 al cuadrado. Y eso nos va a dar las dos soluciones reales, que son 1 ¿No? la solución real que se repite. Igual si no lo hicieron de esa manera podemos siempre recurrir a nuestra fórmula general y tendremos x igual a menos b que sería un 2 más menos raíz cuadrada de b cuadrada que es un 4, menos un 4 por una a que es un 1 y por una c que es un 1. Y ahí esta la evidencia ¿No? Ahí esta la evidencia de que salía un 0 aquí en el discriminante. Vean este 0. ¿Sí? Y esto hace que las soluciones sean 1 y 1. O sea la misma. Una raíz doble. ¿Cuál es la interpretación acá? En nuestro gráfico la interpretación va a ser que en este caso tendríamos un lugar, en un solo lugar en donde la expresión es igual a 0 ¿No? Este solo lugar es una gráfica de una parábola que sube, toca el eje y luego se regresa. Con todos estos pasos que hemos hecho, todos estos pasos algebraicos, o sea, nosotros podemos you estar seguros que tenemos un muy buen manejo ¿No? de las ecuaciones cuadráticas y de la graficación de parábolas. Observen ustedes que han sido pasos importantes encontrar el vértice de la parábola. Eso se hizo a través de su derivada y claro, recurriendo también a la fórmula de la función. Encontramos los cortes con el eje y al evaluar cada una de las funciones en 0 y encontramos finalmente los cortes con el eje x al igualar a 0 la función. Esto era para hacer un repaso también de nuestro dominio de la ecuación cuadrática. Yo les espero en la próxima semana en donde podremos avanzar a otras cuestiones you una vez que tenemos un buen control de esto. Les aconsejo que hagan su autoevaluación y su práctica ¿No? viendo lo que hemos logrado en esta semana aprender con bastante, bastante trabajo dedicación y esfuerzo. Descansen y nos vemos.
