Pues ahora sí, pongamos las manos en el álgebra, para luego es tarde, y vamos a empezar. Tengo en esta presentación las expresiones algebraicas que you habíamos tecleado en Graphmática, tengo también una imagen preparada que me traje de ahí, de lo que hicimos y entonces, vamos a empezar a trabajar con estas cuestiones algebraicas que yo sé que ofrecen dificultades, vamos a hacer este ejercicio también porque aquí hay quebrados, hay racionales y yo quiero que eso no sea una dificultad para poderlo operar, ¿no? Y entonces, me gustaría que comenzáramos en este video, a ver si alcanzamos a completar dos, pero si no, pues aunque sea con una. Vamos a empezar con la azul, que es la primera que tenemos, ¿no?, en la imagen, la gráfica azul que corresponde con la función que tenemos. Es la primera, ¿no?, que está aquí expresada. Entonces ahorita lo que voy a hacer es expresárselas nuevamente abajo, vamos a tomar el color azul, vean ustedes ahorita voy a escribir la expresión, ¿cómo la escribimos?, ¿no?, naturalmente, con nuestra mano. Menos x cuadrada menos 17 medios de x menos 21 medios, ¿no? Se ve diferente cuando se escribe así, ¿no?, que cuando la estamos tecleando, ¿no? en el graficador, ¿ok? Bien, esta es nuestra función. Ahorita yo no lo hice pero es una y que depende de x, ¿no? O sea esta es la expresión de y en función de x, ¿no? Es una función cuadrática. Nuestro objetivo es graficarla y ustedes van a decir ¿y para qué la quieres graficar si you la tienes ahí? Pues sí, sí es cierto, o sea, you la hice, o sea, realmente lo que yo estoy tratando de hacer es de que esto que el graficador nos ofrece nos sugirió una estrategia para graficar a las parábolas. Esa es la que parafraseamos en la vez pasada en una imagen y ahora lo que quiero es ponerla al servicio de esa graficación. Tengo la imagen para apoyarme ahorita en el sentido de que funcione esa estrategia. O sea, voy a hacer las cosas y voy a comprobar que sí es cierto. ¿Ok?, entonces vamos a hacerlo primeramente con esta función y nuestro primer paso, ¿se acuerdan?, fue, ¿qué dijimos? pues vamos a derivar, vamos a derivar y entonces aquí nos quedaría, ¿cómo derivamos? Sería y prima igual a menos 2 x menos 17 medios, ¿ok? Esa es nuestra derivada, ¿para qué la queremos? Bueno, vean ustedes, ahorita lo que estamos sacando es esta recta que les estoy señalando aquí, esta, esta, esta, ¿no?, y lo que me interesa de esta recta es este punto, este, este, ¿no? ¿Cómo voy a sacar este punto? Pues lo que estoy viendo es que ese punto es donde cruza con el eje horizontal. Entonces lo que tendría es esta expresión igualada con cero, ¿no? Entonces el segundo paso es que igualemos a cero, y prima igual a cero y entonces nos va a quedar que menos 2 x menos 17 medios es igual a cero, o sea, lo que generamos ahorita es una ecuación lineal, ¿no? Vamos a resolver esta ecuación lineal. Es más, vamos a ponerle ahí su nombre para que recordemos bien las cosas que estamos haciendo. Esta es una ecuación lineal y lo que vamos a hacer es resolverla. Para eso tengo dos términos negativos, vamos a pasar este de este lado y entonces nos va a quedar menos 2 x igual a 17 medios, de ahí que este menos 2 que está aquí multiplicando a la x lo vamos a pasar de este lado, ¿dónde va a pasar? Va a pasar en el denominador, o sea, realmente no sé si you les he hecho esta observación con anterioridad, vean que todo número es un cociente arriba y abajo. Aquí está el de arriba y el de abajo. Este menos 2 que está aquí, en una posición arriba va a pasar a la posición abajo, ¿no? Veo que estudiantes lo que hacen en esto es algo como esto, o sea, le hacen así, x es igual a 17 medios entre menos 2, ¿sí? Aquí estamos haciendo una doble división que realmente podemos economizar con este pensamiento que les digo, ¿no? A final de cuentas, ¿qué va a pasar? Miren, cuando hacen esto extremos por extremos, medios por medios y nos va a quedar el 2 con el menos 2, ¿se fijan?, o sea, va a quedar el 17 con el 2 por el menos 2, y eso es lo que yo les estaba recordando, digo, o más bien, aconsejando, ¿no? que este menos 2 que está aquí pues pásenlo junto con el 2 porque va a quedar multiplicando al 2 y entonces you nos quedó aquí un menos 17 cuartos, ¿no?, entonces you tenemos nuestra x del máximo, ¿no? Esta x del máximo es menos 17 cuartos y ese 17 cuartos bueno, pues, debe de ser este valor que les estoy indicando ahorita acá, ¿no? Se pasa de menos 4, se pasa a la izquierda, claro que sí, porque aquí en el menos 4 tengo el menos 16 cuartos, ¿no?, porque 16 entre 4 da menos 4, ¿no?, ¿ok? Bueno 16 entre menos 4. Total, you tenemos la x del mínimo you sabemos este lugar entonces. Este de aquí you lo encontramos, y ahora queremos encontrar este lugar, ¿no? Entonces, ¿qué es lo que vamos a hacer?, nos vamos a traer este para acá, ¿cierto? O sea, algebraicamente ¿qué significa eso, no? Después de este segundo paso de haber encontrado la x del máximo, vamos a encontrar la y del máximo ¿cómo? ¿cómo? . al evaluar la y en este lugarcito, ¿no?, en menos 17 cuartos, y esto nos va a hacer que vayamos a nuestra expresión de la y, acá está, véanla acá, es esta de aquí, y entonces vamos a poner nosotros que menos x cuadrado, o sea menos menos 17 cuartos al cuadrado, ¿no?, menos 17 medios por, este sería por el menos 17 cuartos, ¿no?, por la x, estoy en este lugar, ¿no? you puse menos 17 medios por la x, y ahora sigue menos 21 medios, ¿no?, menos 21 medios, ¿ok?, you tenemos una bonita expresión numérica, ¿verdad? para resolverla, ¿no? Necesitaremos un poquito de ayuda de calculadora, a lo mejor y sí, vamos a ver un menos 17 cuartos al cuadrado, necesitamos un 17 por 17, yo tenía acá mi otra calculadora, traje ahora sí la de los números grandotes, para ver bien, si podemos accionar aquí qué sería, un 17 al cuadrado, 17 al cuadrado es el 289, entonces vamos a ponerle el 289 acá en la en la expresión y esto nos quedaría sobre 4 por 4 son 16, ¿no? Ahora lo dejé positivo, vean ustedes, ¿por qué? Porque era negativo pero está elevado al cuadrado, ¿eh? Después, en esta otra multiplicación, vean este menos por este menos nos va a dar positivo, entonces de una vez you pongo un signo de más, positivo y 17 por 17 lo acabo de hacer, me da 289, no más que aquí van a ser, octavos, ¿no? Y luego seguiría menos 21 medios, ¿ok? En este momento, ¿sí?, yo he visto la actitud en los estudiantes de ir a la calculadora para hacer este cálculo, ¿no? De hecho, podríamos hacerlo, miren vamos a ir ahorita a la calculadora you teníamos un 289 tecleado, entonces podríamos nosotros ponerle ese 289, a ver si me responde así, entre 16, y esto nos da esa cantidad y en este momento, vean, ahorita que estoy viendo esta cantidad yo digo esto sí parece ser un número de una expansión decimal finita. O sea, por el tipo de número que aparece, ¿no? Pero igual, este como quiera, hay ocasiones en que auérdense que nos queda toda esa lista de números, ¿no? Y entonces debemos de tener conciencia que es una expansión decimal infinita y que sí nos la traemos ahorita a los cálculos que estamos haciendo en la computadora, entonces, pues, nos va a afectar, o sea va a a haber you un margen de error que se está acumulando en las operaciones y que no vale la pena trabajar de esa manera, ¿no? Entonces, ahorita les quería hacer una sugerencia, yo no sé si me la consideren buena o no, pero igual pudiéramos siempre tener esta defensa, nada más con la observación que les hacía de cuidar cuando se trate de aproximaciones, mejor trabajar con los quebrados. Miren ustedes lo que tengo en frente ahorita. Yo estoy viendo un mismo numerador, 289, 289 y estoy viendo aquí un 16 y este es un 8, ¿no? 16 es el doble de 8, ¿sí? Pero si estamos en el denominador la cantidad que está de este lado es más chica que la cantidad de este lado, ¿cierto? Son observaciones que you hemos hecho sobre nuestros números. Yo digo siempre, yo pienso siempre, ¿verdad? que el 16 es más grande que el 8, sí, sí, pero cuando estamos en el recíproco o sea, en el denominador, el 16, el denominador 16 provoca que esta cantidad sea más chica que esta de acá y entonces lo que nos queda es justamente la mitad, porque la relación entre 16 y 8 es un 2, ¿no?, o sea, para mí que esta cantidad va a dar igual a 289 entre 16 porque a esta cantidad le quité su mitad, ¿no? Y entonces nos queda esa mitad you esto le vamos a quitar 21 medios ¿no?, esto nos daría la cantidad que tenemos acá en la calculadora, la voy a copiar, que es 18.0625 menos 21 entre 2 y ese 21 entre 2 pues viene siendo tanto como 20 entre dos son 10.5, ¿no?, o sea, hice la operación con 20 entre 2, que da 10 y pensé en el un medio y entonces dije 10.5. Y entonces esta respuesta nos va a dar ¿cuánto? Ahí sí me voy a ir a la calculadora, le voy a quitar aquí el 10.5 y entonces obtengo un 7.5625. Entonces lo que aquí tenemos es un 7.5625 y ahora sí, una vez que hemos hecho bastantes operaciones numéricas y sale un numerito el estudiante dice you acabé, you acabé, o sea, como que todas las respuestas en matemáticas son números, ¿no? ¿sí? Y para qué salieron esos números sabrá Dios, ¿no? Lo importante es you llegué al número y ahora dígame si está bien o está mal. Bueno, ahorita tenemos una manera de comprobar si esto estuvo bien o mal, o sea, ¿qué voy a hacer? Me voy a regresar acá y voy a ver qué tal se ve o no se ve que puede ser esto un 7.56 ¿qué dijimos?, 25. Parece ser que sí, ¿no? O sea ahorita lo que obtuvimos con nuestras operaciones es que aquí tenemos un 7.5625, 25, esto asociado con una x, la x del máximo de menos 17 cuartos, ¿no?, menos 17 cuartos, ¿ok? Y entonces con eso you tendríamos nosotros detectado nuestro máximo y encontrado que sí, suena bien, suena bien que aquí estemos en el 7.5625. ¿Qué es lo que nos falta ahora para hacer el dibujo de esta gráfica? Nos faltaría, teniendo este punto, pues encontrar el punto donde corta al eje vertical. ¿Cierto?, y ese era nuestro siguiente paso en la estrategia, ¿no? Y entonces you encontramos aquí el máximo y ahora vamos al paso número, ¿qué le pusimos? En el tercero, ¿no?, en el tercero lo que vamos a saber es el corte con el eje y, para eso lo que hacemos es que la x sea igual a cero, y entonces evaluamos y en cero, ¿no? y y en cero ¿cuánto va a dar? Pues si you hemos visto, ¿no?, lo que pasa en la expresión. Vean aquí está mi expresión, meto un cero aquí y me va a quedar cero al cuadrado es cero, 17 medios por cero da cero menos 21 medios, ¿ven? Queda la letra c que habíamos llamado antes. El menos 21 medios que es un menos 10.5 y ese valor es el que tendríamos nosotros por ahí, ¿no? Creo que corté ahí el gráfico, no nos alcanzó a salir, pero podemos ser capaces de decir, por allí anda el menos 10.5. El punto sería (0, - 10.5) sería el punto en donde corta la gráfica azul al eje vertical y con esos dos puntos uno puede hacer el trazado de la gráfica, ¿no? Claro que al hacer ese trazado de la gráfica vean ustedes como si yo lo empezara a dibujar ahorita, ¿no? Le hago así, le hago así, y entonces me voy a dar cuenta de que ¡ay! de que tengo un lugar donde corta el eje x, ¿no? Este de aquí y observo este otro de acá ¿no? Este otro lugar, este de acá, y estos lugares de donde los voy a obtener, ¿no? ¿Cómo saco estos dos valores? Otra vez la observación es estoy con puntos de la parábola en el eje horizontal. En el eje horizontal la altura vale cero, o sea la y, y entonces eso nos dicta lo que hay que hacer para encontrar estas interrogaciones, ¿no? Las interrogaciones, vamos a hacerlo acá, sería un cuarto paso que estamos haciendo de ganancia, ¿no? que son los cortes con el eje, pero no es el eje y, ¿no? es el eje x, y ahora lo que habrá que hacer es hacer y igual a cero, ¿no? Al hacer y igual a cero, entonces, lo que vamos a obtener es una, you lo estan pensando, es una ecuación cuadrática, me la voy a traer de acá, esta de acá la tengo que escribir abajo, vamos a ver si no se me olvida, era menos x cuadrada menos 17 medios de x menos 21 medios igual con cero, ¿no?, ¿cierto? Esta se llama ecuación cuadrática y esta ecuación cuadrática se resuelve ¿cómo? Con la fórmula general, ¿no? Pero antes de hacer ese uso de la fórmula general yo los invito nuevamente a que observen en esta expresión algunas simplificaciones importantes, ¿cierto? ¿Qué simplificación primera haría? Yo la mera verdad diría todo por, este es un por no es una x, todo por menos 2, todo por meos 2. Eso se vale hacer, ¿por qué? porque tengo la igualación a cero, estoy trabajando con una ecuación, entonces puedo multiplicar por menos 2 todo y me va a quedar ¿menos 2 por menos x cuadrada? 2 x cuadrada, menos 2 por menos 17 medios me va a quedar más 17 por la x, ¿no? Menos 2 por menos 21 medios me va a quedar como un qué, 21 igual a cero, ¿no? Con esa multiplicación por menos 2 logré que estos denominadores se fueran. Claro que el aporte fue un 2 acá pero es más leve, ¿no?, que tener 2 denominadores números 2. Entonces you está la expresión con enteros, el multiplicar el menos 2 por el cero me va a dar el cero otra vez y entonces esta ecuación ahora sí la vamos a resolver con la fórmula general, y si se acuerdan de cómo va, la fórmula general yo tengo mi a, tengo mi b, tengo mi c y entonces va más o menos así, menos b, más menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 por a por c, y todo esto entre 2 por a, ¿no? Nos queda entonces, vamos a hacerlo aquí abajito, la expresión se ve grandota, espero que se haga chiquita ahorita. El 17 al cuadrado hasta you nos lo aprendimos, ¿no?, es el 289, 289 menos 4 por 2 son 8, por 21, son ciento, 8 por 1, 8, 8 por 2, 16, 168, ¿no? Y todo esto entre 4, y ¿de aquí qué nos va a qedar? Nos va a quedar un menos 17 más menos raíz de 289 menos 168, vamos a ver si sale fácil, 8 para 9 es 1, 6 para 8 son 2 y una para 2 es 1, ¡Qué bien va a salir esto! porque el 121 yo you lo conozco, la raíz de 121 es estar elevando un 11 al cuadrado, entonces aquí sería más menos 11 entre 4 y de aquí, entonces, vamos a tener dos soluciones, una sería menos 17 más 11 entre 4 que nos va a dar tanto como menos 6 entre 4 que es lo mismo que menos 3 medios ¿sí?, y la otra sería menos 17 menos 11 entre 4 que nos va a dar tanto como menos 28 entre 4, o sea, menos 14 entre 2, o sea menos 7. Me están saliendo dos valores, menos 3 medios y menos 7, ¿sí? Y ahora sí, otra vez, como dice el estudiante, you acabé, you acabé y ahora digame si está bien o está mal. Pues vamos a ver, vamos a ver en el gráfico, ¿no? Esta es otra manera de ver como los graficadores ahorita nos ayudan a corroborar que nuestras expresiones, nuestros procedimientos algebraicos sean correctos, menos 1.5 y menos 7. Nos vamos a la gráfica y aquí tenemos un, pues sí, aquí debe de estar el menos 1, entonces ha de ser un menos 1.5 por aquí y aquí está el menos 6, entonces, aquí está el menos 7 Con esto es un descanso, realmente, todo ha salido de maravilla y ahorita hemos hecho uso de nuestra estrategia algebraica para encontrar la gráfica, ¿no?, de esta parábola. En esta parábola encontrar la gráfica significa haber encontrado, ser capaces de encontrar el máximo y encontrar el corte con el eje de las Y's y los cortes con el eje x, ¿no? Fíjense, estos son los puntos importantes, Máximo, corte con el eje y y cortes con el eje x. Nos vemos en el próximo video, en el próximo video retomaremos las otras dos de nuestras expresiones para hacer junto con ustedes esta álgebra, ¿no? que de repente parece tan, tan fría, ¿no? y tan calculadora y que es difícil, difícil de controlar. Los veo entonces.
