Regresamos nuevamente. Yo me volví a traer mi listoncito. Si se acuerdan como estuvimos jugando en la sesión pasada andábamos haciendo cosas como esto, ¿no? Tratando de pensar cómo es que este listón la matemática está metida. Lo que hicimos fue construir una función. Ahora, nos toca hablar del problema que es típico en cálculo que es la optimización de funciones. Optimizar algo significa sacarle el mayor provecho a algo en particular. Entonces veamos en este caso de que se trata este problema de optimización. Traigo una presentación que me va a ayudar mucho a transmitirles esta idea. Entonces si me acompañan en la pantalla. Optimización De Funciones ese es nuestro tema por un ratito y vamos a recordar de lo que estábamos hablando. Teníamos una cuerda de 100 centímetros, y con esa cuerda vamos a construir distintos rectángulos. Ahorita toda la animación nos hizo una evocación de lo que hicimos en la sesión pasada. you tenemos ahora nuestra variables x, y, y h. you construimos nuestra función cuadrática. you platicamos o no lo platicamos de que la variable x esta entre 0 y 50. Pues no se pero si a lo mejor ahorita me enfocan en el listón se acordaran que cuando yo tengo el listón en esta posición vertical es práticamente haber tomado una base cero en el rectángulo. A medida que yo voy, digamos metiendo mis dedos, la base es un poquito, un poquito más grande. Y a medida que hago esto, la base esta creciendo. Entonces lo máximo, máximo que va a llegar a ser la base sería cuando you tengo el listón doblado completamente a la mitad entonces you sería el 50. Total empezaríamos en cero, ¿verdad? En la longitud de la base habría que estar pensando acá abajo y cuando hacemos ese juego de abrir el líston llegaríamos al valor 50 para la base del rectángulo. Un rectángulo tan chaparro pero tan chaparro que su altura vale cero,. y que, por tanto, es de esperarse que su área sea cero. Entonces por eso me he permitido poner aquí los paréntesis rectangulares. Recuerden que este paréntesis rectangular significa admito el valor cero y admito el valor 50. Pudieramos dejarlo abierto pero veran que no es ninguna dificultad mantenerlo con nosotros, ¿no? esos dos valores. ¿Qué es lo que tenemos ahora en la imagen? Tenemos un sistema coordenado y ahí podemos hacer una representación gráfica de nuestra función. Si yo me pregunto por la gráfica y volteo a ver esta expresión matemática y veo aquí este cuadrado pues you hemos estudiado el tema y sabemos que esto es una parábola. Ahora, ¿cómo vamos a graficar esa parábola? Si ustedes ahorita observan lo que está haciendo la animación, a propósito metí el valor de cero. Era lo que les comentaba ahorita es como considerar que la base del rectángulo fuese cero. Es un rectángulo tan angosto, tan angosto que su base vale cero y su altura vale 50. Pero al hacer esa multiplicación para calcular el área del rectángulo, pues me va a quedar que el área va a ser cero. Entonces tendríamos un punto aquí, ¿okay? en cero coma cero. Si ahora metemos el valor 50, ese valor 50 nos vuelve a dar una área de cero. ¿Porqué? Porque el valor 50 significa que you tememos nuestra base de esta manera midiendo 50 pero la altura es prácticamente cero. Entonces 50 por cero que me daría el área de ese rectángulo que realmente no tiene área. Realmente no es un rectángulo pero estoy interpretando las cosas. Si la base fuera 50, la altura seria un cero y el área seria cero. De nada me va a servir ese rectángulo más que para poner el punto que yo estoy viendo ahorita en este gráfico ¿no? y que me permite pensar you en una situación de un dibujo donde estos dos puntos se van a tener que unir. ¿Y cómo se van a tener que unir? Se van a tener que unir como una parábola, ¿no? Entonces no me quedan opciones fíjense porque para juntarlos o lo hago así, o lo hago así, ¿no? Y ni modo que las áreas sean negativas. Entonces como son areas positivas la idea en mi mente tiene que ser que esto tendrá que hacerse de esta manera, ¿no? O sea subiendo con una concavidad hacia abajo, crecimiento y después decrecimiento. Vamos a verlo. Aquí you la manita borra ahí nuestras operaciones. Nos preguntamos por el vértice. Y al preguntarnos por el vértice acuerdense lo que hice yo ahorita. La parábola es una curva tan simétrica ¿no?, con respecto a su eje que eso me hace poder decidir dónde está el vértice. Esto es algo que los estudiantes han contestado inmediatamente cuando hemos evocado esta posición de estos dos puntos. Dicen, pues en el 25, por qué tiene que estar a la mitad. Y ciertamente el vértice va a estar en el 25, y eso me va a llevar a calcular acá un valor numérico. Vean ustedes como ahora voy a pasar de lo grafico acá a lo algebraico y a lo numérico. Este 25 lo ponemos en nuestra fórmula y esos cálculos nos van a dar un 625 que vendrá siendo una altura en la parábola pero que a su vez significa el área, ¿no? El área del rectángulo cuya base vale 25. Entonces si ahorita en la animación producimos esa gráfica tenemos ahorita la manera de recuperar aquel razonamiento y pensamiento que tuvimos en la sesión anterior. Vean ustedes la figura que apareció al lado de la parábola si ustedes recuerdan aquella figura la fabricamos cuando estábamos evocando la formación de los rectángulos entonces si ahorita recupero uno de esos rectángulos con base 10, vean ustedes como el área 400 es un área que ahora está representada gráficamente con una altura, ¿no? O sea cuando uno hace un gráfico en matemáticas para representar una función, ahorita en la función y, esta y significa ahorita el área. Entonces el número que se asocia con esta área de acá el numero 400 acá lo interpreto como una longitud vertical. Eso también es la riqueza de los números. Yo puedo decir 400 centímetros cuadrados para representar el área, pero aquí puedo decir 400 centímetros o unidades de longitud, ¿no? El número es el mismo pero aquí me está representando una longitud que a su vez interpreta el valor de un área. Si vamos a otro de los rectángulos por ejemplo este con base 45 vean como este 225 del área acá estaría representado por un altura de un segmento vertical. ¿Okay? Y esa altura representa el área del rectángulo. Este otro rectángulo con base 3 tiene un área de 141 y aquí estaría representado con este segmento vertical. Parece que acá hay otro. Vamos a seleccionarlo con 30, nos queda la altura de 600. Y esto que estoy haciendo, este transportar las áreas de distintos colores en segmentos de distintos colores, sobre la función lo que es la parábola me hace despertar en ustedes la idea de, ¿cual será el rectángulo de área máxima? Llegar a hacernos esta pregunta. ¿Cual será el rectángulo de área máxima? Eso puesto en la representación gráfica de la función significaría preguntarse por las alturas de todas estas alturas que estoy tratando de simular con el cursor de todas estas alturas, ¿cual es la más grande? ¿Cual es la mayor? Y eso pues inmediatamente nuestra vista nos dice, pues aquí esta. Tiene que ser aquí en el vértice de la parábola,¿no? Esto va a recontestar esa pregunta y entonces, creo que quiere que le de clic aquí, este 25, nos lo traemos acá y nos va a quedar un área de 625 para el rectángulo de área máxima. Uno puede notar que ese rectángulo va a ser un cuadrado porque acuérdense la relación que you teniamos entre la altura y la base del rectángulo. La altura era 50 menos x donde x era la base. Si la base es 25, 50 menos 25 nos da 25. Estamos resolviendo una digamos, una situación muy general que la matemática vino a resolver, ¿no? ¿Cómo le hago para que con una longitud fija o sea con un perímetro dado yo pueda fabricar el rectángulo de área máxima? La respuesta es esa longitud pártela en cuatro. Pártela en cuatro y produce un cuadrado. El cuadrado, aunque no lo crean, el cuadrado es un rectángulo, ¿no? Lo que pasa es que es un rectángulo cuya base y altura son iguales. Entonces una vez que hemos hecho esto, hemos resuelto el problema ustedes me van a decir, ¿bueno y la derivada donde quedo? you les había yo aclarado como esta situación está en un contexto muy geométrico y no fue justamente la derivada la que me dio lugar a construir a la función. Pero me gustaría recordar lo que hemos visto you de derivadas y recuperarlo porque realmente pudimos haber dado una solución en un contexto digamos de cálculo nada más hablando de nuestra derivada. Por qué esta función tiene su derivada. Entonces si me acompañan me gustaría que, tengo una imagen acá, solamente para recuperar esto de una manera rápida. Tenemos aquí una imagen de la función. Nuestra función es y igual a f de x igual a 50 x menos x cuadrada. Recuerdan esta you la construimos you sabemos el dominio de esta función nuestra x varia de 0 a 50. Nosotros sabemos que es una parábola. Nos estábamos preguntando por la gráfica. Y ahorita en el momento que vimos la presentación en flash decíamos de estos dos puntos. Ahorita lo que voy a tratar de hacer es solamente evocar nuestro procedimiento en términos de la derivada. Tengo una función cuadrática, función cuadrática y esa función cuadrática yo la puedo derivar. Su derivada va a ser una función lineal. Vamos a ponerla aquí f prima de x es igual a si tengo 50 x la derivada va a ser 50, si tengo menos x cuadrada la derivada va a ser menos 2 x, ¿de acuerdo? ¿Y para que quiero la derivada? Recuerden ustedes, esa derivada al igualarse con cero me va dar lugar a encontrar el punto máximo o minimo. Máximo en esta ocasión por el mismo contexto que decíamos. Tienen que ser áreas positivas, ¿no? Entonces debería de ser un valor máximo. Al igualar a cero la derivada me queda 50 menos 2 x igual a cero de ahí 50 es igual a 2 x y finalmente viendo esto en un espejo voy a poner la x de este lado y me queda un 50 y este número 2 pasa dividiendo al 50 dándonos un 25. Y entonces you sabría yo si esto lo evoco acá en el grafico, you sabría yo que aquí en el 25 debe de estar el vértice da la parábola, ¿no? en esta vertical en el 25. Bueno media vertical. Ahorita no traigo muy buen pulso. Pero lo que me faltaría a mi saber es, ¿en donde? ¿A qué altura me paro? Saber a qué altura me paro es otra vez interpretar. O sea estoy metiendo un valor a la x de 25. Y este valor lo quiero calcular en su correspondiente y ¿Dónde esta la y? Aquí esta la y. O sea que debere de meter el valor 25 en la función, ¿no? Evaluar la función en 25 para obtener el valor de y. ¿Y esto nos va a dar que? Nos va a dar un 50 por 25 menos 25 al cuadrado. ¿De acuerdo? Y este 50 por 25 menos 25 al cuadrado pues, ¿qué va a ser? Para mi, no se. you luego se me hace simple, ¿no? Ustedes pueden usar su calculadora. Se me hace simple hacer esta factorización. ¿De acuerdo? Sobre todo porque se de donde venimos. De construir el rectángulo. Y esta viene siendo el área ¿no?, del rectángulo. Base por altura. Factorize un 25. Y aquí lo que me quedo es un 25 por 25 y ese si me lo se por qué es el 625, ¿no? Y entonces ese 625 lo ponemos acá y you sabemos que aquí esta el máximo y entonces you hacemos nuestro dibujo. A ver si le atino aquí al 50. Parece ser que sí. Y entonces lo que sabemos ahora es que este gráfico nos va a informar que aquí justamente aquí, ¿no?, tenemos el rectángulo de área máxima. ¿Qué pasaría si yo dibujara la derivada? Ahorita que tengo mi graficador. ¿Se acuerdan de este que les he dicho que es tan útil? Yo he metido you estas funciones en el graficador. Dejenme ponerlo de este lado. Puse la función derivada como 50 menos 2 x la puse en rojo y puse la función 50 x que estaba aquí, 50 x menos x cuadrada ¿no?, en tono azul. Entonces cuando yo veo el gráfico, vamos a ver el gráfico. Vean lo que me está dando el graficador. Pareciera ser una cruz nada más pero lo que les he dicho que es bueno en este graficador es que uno puede hacer esto. Yo you se dónde anda el gráfico. Yo you tengo información de lo que está pasando con esta función y soy capaz de hacer el dibujo de esta manera. O sea buscar la zona adecuada para tener una interpretación correcta. Y aquí tenemos justamente en el 25 la intersección. Vean como esta recta va decreciendo eso nos da la concavidad hacia abajo y vean como es positiva y después es negativa. O sea la derivada, no es más que se me sale de allá, la derivada es positiva, antes, por eso el gráfico crece y luego la derivada es negativa y por eso el gráfico decrece. Quería evocar con ustedes estas relaciones y hacerles de nuevo entender como ahorita en el contexto en que estamos ciertamente uno toma una zona del gráfico. Vean como el gráfico que yo hice acá es nada más una parte del gráfico que me esta dando el graficador. Pero el graficador la hace completa parábola porque el grafica parábolas. Yo grafiqué la parte de la parábola que tiene sentido para mi problema,¿no? Pero en realidad el objeto matemático es como lo tenemos aquí. Y este objeto esta relacionado con este otro. Función y derivada, ¿no? Función cuadratica derivada lineal. Y donde la derivada cruza el eje pasando de valores positvos a negativos yo tengo que en el grafico de la función hay un valor máximo y el gráfico cambio de ser creciente a decreciente. El decreciemiento de la derivada nos va a dar la concavidad hacia abajo del gráfico de la función. Si yo quisiera ver este grafico para el problema tendría que esconder esa zona y quedarme con algo más o menos por allí. ¿No? ¿Sí? Eso sería el parecido mayor con el respecto a lo que nosotros estariamos estudiando. Yo creo que con esto les he dejado you clara la idea de que aun y cuando no fue un problema en donde el contexto me dio la razon de cambio para construir la función, si fue un problema donde un contexto geométrico me permitió construir la función lo cual también no es algo fácil de hacer y después utilizar la derivada de esa función para responder un problema de optimización. Problema que ciertamente pudimos responder de una manera más simple por la simetría de la parábola pero el razonamiento es general. Al rato, no van a ser parábolas va a ser curvas diferentes y entonces si la derivada va a ser la que nos de la respuesta. Los espero para la próxima sesión en donde vamos a ver variaciones de este problema de optimización.
