Listos para continuar con nuestra obra. Acuérdense que estabamos haciendo nuestro collage de posibilidades, estamos netamente en un terreno gráfico siempre trayendo en nuestra cabeza el contexto del movimiento en línea recta que nos está permitiendo hacer dibujos que precisan ¿no?, la interpretación de este movimiento con una representación matemática fundamental que es una representación gráfica. Si me acompañan entonces a la pantalla nos habíamos quedado con dos columnas hechas. Vamos a ir a la tercera de nuestras columnas y en esta columna vamos a comenzar no haciendo nuestra aportación de lo que sería el gráfico en la parte de abajo ¿no? Aquí está la aceleración. De esa aceleración vamos a poder inferir cual es la velocidad y de esa velocidad vamos a inferir cual es la posición. Entonces en la aceleración tendremos ahora el caso de una aceleración que es constante negativa. Al ser constante y negativa, vean ustedes como esta que está aquí es la razón de cambio de la de arriba. Ok, y en ese sentido me va a hacer que la de arriba sea decreciente. Mi magnitud es la velocidad si la razón de cambio es la aceleración, si esta es constante aquí vamos a tener comportamiento de recta y como es negativa esta recta que dibujemos va a tener que ser decreciente. Que tal esta por ejemplo ¿no? esta recta de velocidad es una velocidad decreciente. Se observa ahorita que por el valor inicial que le pusimos es una velocidad que primero es positiva y luego es negativa. O sea que nuestro personaje primero va hacia la derecha y luego se va a regresar hacia la izquierda ¿no? Ahora nos vamos al gráfico de la posición, incluso eso que yo les hice ahorita con la mano derecha izquierda, es algo que you podríamos estar habituados a verlo como ese especie de puente ¿no?, de gráfico como de puente Aquí hay una correspondencia entre velocidad positiva, gráfico que crece y velocidad negativa el gráfico que decrece. Por otra parte el decrecimiento de la velocidad me está dando una concavidad hacia abajo ¿no? Nuevamente ¿que pasó aquí? you hubo una elección de un valor inicial de la posición, como lo hubo acá ¿no? Pero ciertamente para esta misma velocidad yo pude haber hecho que cualquier posición inicial fuese adecuada, por ejemplo, cualquiera de las que tenemos allí en esa lluvia no, de curvas punteadas. Entonces hay diferentes situaciones, como pueden ustedes observar. Habrá veces en que se cruce aquí el eje dos veces, habrá veces en que fíjense por ejemplo esta que les estoy señalando el número arriba, se cruza en un valor de t positivo. Si estoy en un contexto de movimiento el otro valor donde cruzaría la gráfica sería acá en tiempo negativo y ese es uno de los que hemos en nuestros procedimientos descartado ¿no?, porque no estaríamos dentro del rango en donde es posible interpretar un tiempo ¿no?, para el movimiento. Bueno, hay diferentes posibilidades, aquí por ejemplo no hay una por abajo que pudiera no tocar el eje, es posible que pudieramos ahí dibujar una, nada más que en esta animación, bueno en esta presentación no está. Bueno, pero igual también podemos pasar a la velocidad si aca también pueden pasar montones de cosas ¿no? por ejemplo pudiera ser que yo tuviera una velocidad azul y el que tenga la velocidad azul ahorita más que todo no es el color sino que ustedes vean no, visualizen las velocidades completamente negativa, y si es completamente negativa el movimiento tiene que ser completamente hacia la izquierda. Y si es hacia la izquierda ese movimiento entonces you no vamos a tener este comportamiento de acá. O sea el decrecimiento aquí me va a decir que tengo concavidad hacia abajo pero al estar siempre en zona negativa, acá tiene que haber un decrecimiento. Entonces junto ambas informaciones, necesito dibujar algo aquí que sea decreciente concavo hacia abajo y entonces lo que va a aparecer en mi mente y en la presentación es una curva como la que estamos viendo, o sea es una curva decreciente concava abajo en respuesta al comportamiento de su razón de cambio la velocidad que es negativa y decreciente ¿no? Pasamos ahora a poner todas las posiciones iniciales posibles y se nos hace esta lluvia ¿no? de curvas punteadas y ahorita tenemos otra vez distintas posibilidades que vamos todavia a complementar más si nos permitimos pensar en una velocidad verde ¿no? ¿Cuál es esta velocidad verde? Es completamente negativa otra vez, pero se las puse comenzando en el origen. Eso me está diciendo que el objeto que estoy analizando en su movimiento comienza a partir del reposo Y you les había observado en la columna anterior como esto hace diferencias en el gráfico en cuanto a la manera de despegarse del eje ¿no? Ese despegarse del eje está, digamos tratando, lo estaba yo tratando de simular ¿no? con esta curva verde que se desprende lentamente ¿no? del eje horizontal, a diferencia del azul, se fijan, o sea como si uno viera aquí la curva de cerca no ve una horizontal pero uno ve de cerca la curva verde y ve una horizontal, de ahí se desprende la curva. Entonces tenemos decrecimiento y concavidad abajo como era de esperarse por tener acá un signo negativo y decrecimiento en la velocidad. Ahora cambiamos posición inicial y entonces tenemos todas estas posibilidades diferentes, y aparte de eso podriamos todavía agrandar nuestra perspectiva de velocidades y poner una en tono amarillo ¿no?, y esta en tono amarillo que va a hacer ahora la diferencia con la roja, el tiempo en que llega al valor cero. Tengo una velocidad amarilla que es primero positiva y luego es negativa, pasó por un valor cero. Si primero era positiva entonces nuestro chico iba hacia la derecha no y si después llega al valor cero, se regresa hacia la izquierda. Entonces, acá en el gráfico vamos a tener esa consecuencia pero en este tiempo vean donde les pongo el cursor. En este tiempo, tiene que pasar algo en el gráfico ¿no?, que tiene que pasar esto que esta aquí. Tiene que llegarse al valor máximo ¿no?, justo en el instante en que la gráfica recta amarilla cruce el eje. Entonces tenemos este mismo comportamiento que la roja, sin embargo el máximo de la gráfica se alcanza en un tiempo anterior a que el tiempo en que lo alcanzó la roja. Ponemos a todas sus compañeras no punteadas las curvas amarillas punteadas simulando que la posición inicial puede ser muy diferente ¿no?, para cada una de ellas y con esto pues hemos terminado nuestra obra ¿no? . Vean ustedes como todo, toda esta obra lo pudiera hacer alguien ajeno llegar y ver el video y decir que es eso ¿no?, están haciendo una pintura nada más. Bueno para nosotros una pintura tiene todo un significado ¿no?, todo un significado matemático que hemos podido traer aquí a nuestro pensamiento gracias a estar analizando el movimiento. Entonces yo digo que esto de lo visual es poderosísimo cuando uno está razonando y no nada más en matemáticas, no nada más en matemáticas, pero por otro lado en matemáticas lo visual es una de las representaciones, tenemos por otro lado la representación algebraica y ahí quiero decir que estamos hablando de letras y de números ¿no?, a veces de puras letras distinguiendo las que son variables de las que son constantes o que son parámetros ¿no? Aún en estos dibujos podemos traer esa representación algebraica para ver también como lo algebraico tiene todo su poder. Entonces si me acompañan en la presentación, déjenme ver si me deja escribir aquí la presentación me gustaría tomar un color negro a ver si nos da oportunidad, parecer ser que si. Vean ustedes aquí en el caso de la velocidad, estoy aquí en el caso en donde la aceleración, esta aceleración es igual a cero ¿no?, cierto. Y entonces estoy en el caso de una velocidad que matemáticamente yo le diría, vamos a ponerle así v subcero, es una velocidad constante. La expresión matemática se ve como la estoy escribiendo ahorita ¿no?, de acuerdo. Esta es nuestra primera, digamos capítulo o tema en el curso, porque estábamos hablando del modelo lineal y llegamos aquí a la expresión de la posición. La posición es una función lineal que está compuesta de un valor inicial que es x subcero, más y luego el número que está aquí en esta velocidad inicial viene y se coloca en este lugar multiplicándose por la t. ¿Okay? Entonces de cierta forma estamos viendo como las expresiones matemáticas, las representaciones se construyen a partir de conocer la de la la razón de cambio. Entonces aquí llegamos a este que es nuestro modelo lineal, you lo hemos estado estudiando, vemos como tenemos representado, digamos, este modelo con las rectas que están alla entonces esa lluvia de rectas de colores en la primera columna arriba ¿verdad?, a la izquierda, y ahora vean ustedes como hay una relación ahorita con la imagen que tenemos ¿no?, hay una relación entre esto, como se los podría yo señalar déjenme ver si puedo con el resaltador. O sea, yo veo una relación entre lo que ocurre aquí en esta parte con lo que ocurre acá, cierto. Aquí y aca ¿no? . Y eso está relacionado cuando tengo las velocidades como esta y esta. No sé si me explique, o sea es como algo que se traslada. Si ustedes toman esta, déjenme poner el cursor nada más, si ustedes toman esta imagen de aquí, hagan de cuenta que esta imagen va a dar lugar a esta otra ¿no? Bueno, eso mismo pasa acá pero en estos dos renglones ¿no? La primera de las imágenes esta, estaría hablando aquí de valores positivos y negativos, y eso nos va a estar dando lugar acá en rectas como las que tenemos en esta otra zona ¿no? En ese sentido como que en cálculo las cosas se van reconstruyendo una a la otra. La formación de la razón de cambio les dice como es la magnitud, pero si esa razón de cambio tiene una correspondiente razón de cambio, bueno esa razón de cambio de la razón de cambio le va a decir como es ella ¿no? y asi nos vamos ¿no?, de abajo para arriba. Entonces vamos a hacerlo en el caso algebraico para las segundas y terceras columnas ¿no? Yo pondría en el caso de la segunda columna, si voy a señalar ahi la aceleración, déjenme tomar el tono acá, si les señalo la aceleración con una expresión tendría que decir a de t igual a a subcero ¿no? a de t es constante, claro que ahora ese signo ese numerito a subcero por el dibujo que estan viendo aquí, estarían pensando es positivo pero yo no dije que lo fuera. Realmente you con esta posibilidad he nombrado como un parámetro una constante, puede ser que ese a subcero también sea negativo ¿no? Entonces aún y cuando estoy en la segunda columna créanme que esto también es válido para la tercera de las columnas. Nos vamos a la velocidad: si la aceleración es constante, ¿si?, entonces nuestra velocidad va a ser aquí lineal, o sea lo que les decía es como la posición en el primero de arriba a la izquierda ¿no?, en el primero de nuestros cuadrantes Entonces aquí tendríamos que la velocidad va a ser un valor inicial, más la aceleración por tiempo o sea el numerito constante voy y lo pongo aquí ¿no? Como antes fui y puse el v subcero en la expresión de la posición en el modelo lineal. Por otra parte ahorita que estan viendo esta expresión ¿no? Yo los invito a que vean que también es válida para acá, o sea realmente la diferencia va a estar en el signo que le pongamos a a subcero, y también en el valor numérico de v subcero, a veces es positivo o negativo. Entonces en ese sentido lo que me refiero yo con el poder de la representación algebraica, estoy usando una misma expresión algebraica, esta, que me está sirviendo para los dos, las dos columnas ¿no? Y a partir perdón de esta expresión vamos a construir acá la de la posición la cual también va a ser válida en las dos columnas ¿no? y esa posición si bien recuerdan ustedes se construye así ¿no? Al valor inicial que era la posibilidad de esta lluvia ¿no? de curvas que poniamos cambiando el valor inicial de la posición, a ese valor le voy a agregar el término v subcero que está aquí, lo pongo multiplicado por t, y el término a subcero le voy a agregar a la letra t el cuadrado y esto lo divido entre dos. Ojalá que les haga sentido, ahi se me mezcló un poquito ¿no? con todas las las lluvias de rectas ¿no?, pero lo que hize fue la reconstrucción que you habiamos hecho antes, o sea al valor inicial que es x subcero ¿si?, le voy a agregar que, un término que tenía que ver si se acuerdan ustedes con aquella primer llave, la primer llave en el tanque ¿no? que sería el v subcero por t, más, después aquella segunda llave aportaba un a subcero t cuadrada entre dos. Yo creo que sería bueno que aprovechen la imagen que tengo acá impresa ¿no? para que sobre ella lo escribamos y este quede más claro porque quisiera que despidieramos en este video ¿no? haciendo algunos ejemplos como pasa en matemáticas. En matemáticas hay mucho esta, digamos esta competencia de abstraer, de generalizar, de simbolizar ¿no? y aquí lo algebraico tiene un poder ¿no? brutal para eso ¿no? . Entonces si me acompañan aquí en el escrito, acuérdense aquí you yo puse una expresión que sería x de t igual a x subcero más v subcero por t. Esto es lo que corresponde con esta columna donde la v de t era igual a v subcero. ¿Okay? Y ahora en estas dos columnas, lo voy a poner aquí en medio ¿no? la expresión es para la posición es x de t igual a x subcero más v subcero t, más a subcero t cuadrada entre dos. ¿Sí? Y acá la velocidad sería v de t igual a v subcero, más a subcero t. ¿Sí? Aquí se me amontonó con el eje pero bueno vamos a escribirlo otra vez aquí abajo: x subcero más v subcero por t más ahora el a subcero está multiplicado por t cuadrada entre dos. ¿Como construí esta fórmula? Este v subcero voy y lo pongo aquí detrás de la t, y este a subcero voy y lo pongo aquí detrás de t cuadrada entre dos. ¿Okay? Yo los voy a invitar a que pensemos en un ejemplo como el verde, vamos a ponerle aquí este ¿no? esta va a ser la tarea y la retomamos en nuestro siguiente video. Este de aquí y vamos a tomar uno como el ¿qué será? Como este de acá el rojo, esos dos, yo creo que esos dos, este verde y este rojo, o sea, mi propósito es construya cada quien su expresión ¿no? de la velocidad pero de tal manera que la gráfica sea como la verde de la segunda columna, o como la roja de la primer columna. ¿Okay? ¿Qué es lo que tienen que hacer ustedes?, tienen que atreverse a darle valores numéricos a v subcero y a a subcero para construir su expresión de la velocidad y también construir la expresión de la posición, sería bueno tener un graficador que les permita ver como si se cumplió lo que tendríamos nosotros o lo que teníamos nosotros señalado en los gráficos de arriba. Si ustedes hacen este ejercicio yo los espero en la próxima ocasión yo voy a tomar mis valores en particular y les muestro ¿no? lo que quería que ustedes vieran. Ojalá tengan oportunidad de hacerlo y si no lo hicieron ahorita, no importa regresen en el próximo video, juntos lo vamos a resolver.
