[AUDIO_VIDE] Bonjour. Nous allons continuer le cours sur les enseignes et afficheurs à LED. Aujourd'hui, nous allons aborder la leçon Circuits logiques combinatoires. Dans cette leçon, nous allons aborder dans un premier point les éléments de base des circuits logiques. Ensuite, nous allons parler de l'algèbre de BOOLE, qui est conçu autour d'opérateurs que nous allons voir à travers les portes logiques de base. Ensuite, nous allons aborder l'expression mathématique d'une fonction logique, et nous terminerons cette leçon par les propriétés de l'algèbre de BOOLE. Dans les systèmes logiques, le codage des informations utilise deux niveaux de tension. Chaque niveau de tension est associé à un état logique. Les systèmes logiques sont binaires, c'est-à-dire les variables discrètes qui permettent de représenter le système prennent les valeurs 0 ou 1. Si nous prenons l'exemple de la technologie TTL, un 0 logique est associé à une tension entre 0 et 0,8 volts. Et un 1 logique est associé à une tension entre 2,4 et 5 volts. On pourrait éventuellement prendre un autre exemple, l'exemple d'un interrupteur. On pourrait associer à l'état d'ouverture d'un interrupteur à un 0 logique et à l'état de fermeture de l'interrupteur à un 1 logique. L'algèbre de BOOLE, c'est un outil mathématique qui permet de représenter le traitement et le fonctionnement des systèmes logiques. Il est conçu autour d'opérateurs logiques de base où nous avons le NON logique ou le complément logique, qui est représenté par une barre au-dessus de la variable logique, si nous prenons par exemple A, A barre symbolise le complément de A. Le OU logique ou l'addition logique qui est représentée par le plus, l'addition ou encore le ET logique ou la multiplication logique qui est symbolisée par un point ou la multiplication. Ces trois fonctions de base permettent d'avoir d'autres fonctions dérivées que nous verrons un peu plus tard. La première porte logique de base que nous allons voir est la porte NON, qui est représentée ici par ce symbole, où nous avons un petit triangle au bout duquel le petit rond symbolise l'inversion. Pour une entrée A, nous avons la sortie S. Au niveau de son équation logique, la sortie S est égale à A barre, la barre qui représente l'inversion. On peut représenter cette fonction aussi par sa table de vérité. Une table de vérité est un tableau à 2 à la puissance n [INCOMPRÉHENSIBLE], n étant le nombre d'entrées. Ici, nous avons une seule entrée, donc nous avons 2 [INCOMPRÉHENSIBLE] 2 à la puissance 1. Et n plus une colonne, nous avons deux colonnes et la dernière colonne permet de représenter les sorties pour toutes les combinaisons d'entrées. Alors, au niveau de l'analyse de cette table de vérité, on peut remarquer que la sortie S vaut 1. Si l'entrée A vaut 0 et la sortie S vaut 0, si l'entrée A vaut 1. La deuxième porte de base que nous allons voir est la porte OU, l'addition logique, qui est représentée ici par cette porte, où nous avons les deux entrées A et B et nous avons la sortie S. Son équation logique est représentée par S égal A ou B, le symbole, le signe plus qui représente ici l'addition logique. Sa table de vérité donne pour les quatre combinaisons d'entrées les sorties associées. Alors, on peut remarquer que la sortie S prend la valeur 0 si les deux entrées sont nulles, et la sortie S vaut 1 si l'une des entrées vaut 1. La troisième fonction de base que nous allons voir est la fonction ET qui est représentée ici par ce symbole. Cette porte a deux entrées permet d'avoir au niveau de S la sortie, S qui vaut A et B. L'équation logique donc est représentée par S égal A et B, la multiplication logique. Et sa table de vérité donne pour les quatre combinaisons d'entrées la sortie S qui vaut 0, si l'une des entrées vaut 0 et la sortie S qui vaut 1, si les deux entrées valent 1. La première porte dérivée est la porte NAND. Elle est représentée par ce symbole. Remarquez que c'est le symbole du ET logique où nous avons un petit rond au bout qui symbolise l'inversion. Elle est à deux entrées ici, A et B et nous avons la sortie S. Son équation logique est représentée par S égal A ET B, le tout barre. Et sa table de vérité donne pour les quatre combinaisons d'entrées la sortie S qui vaut 1, si l'une des entrées vaut 0. Et la sortie S qui vaut 0, si les deux entrées valent 1. La deuxième porte dérivée est la porte NOR. Le OU inversé qui est représenté ici par cette porte logique, où nous avons le OU avec un petit rond qui symbolise l'inversion. Son équation logique est donnée ici par S égal A OU B, le tout barre. Et sa table de vérité donne pour les quatre combinaisons d'entrées la sortie qui vaut 1 si les deux entrées valent 0 et la sortie qui vaut 0, si l'une des entrées vaut 1. Et la dernière porte dérivée que nous allons aborder est la porte XOR, le OU-exclusif. Elle est représentée par ce symbole où nous avons les deux entrées A et B et la sortie S. Son équation logique est représentée ici par S égal A OU-exclusif B. Le OU-exclusif est représenté par un plus entouré et sa table de vérité donne pour les quatre combinaisons d'entrées, la sortie qui vaut 0 si les deux entrées sont égales et la sortie qui vaut 1 si les deux entrées sont différentes. Nous avons représenté ici le OU-exclusif à partir des trois portes de base. Nous avons la fonction NON, la fonction ET et la fonction OU. Au niveau de la sortie de la première fonction ET, nous avons ici A ET B barre. Au niveau de la deuxième fonction ET, nous avons A barre ET B. Donc, à la sortie, nous avons S qui est égal à A ET B barre ou A barre ET B. Cette équation représente le OU-exclusif. Cette forme de représentation est appelée un logigramme, l'expression mathématique d'une fonction logique. Toute fonction logique peut s'exprimer sous forme d'une expression mathématique, qui représente la ou les sorties du système en fonction des entrées. Nous pouvons exprimer une fonction logique de manière tabulaire, à partir de la table de vérité ou encore de manière algébrique à partir d'une expression mathématique utilisant notamment l'algèbre de BOOLE ou encore de manière graphique à partir d'un logigramme qui représente la fonction à partir des portes logiques. Si nous prenons l'exemple de cette table de vérité. Nous avons une fonction à trois entrées, A, B et C. Et nous avons une sortie S, la fonction logique. Nous avons la possibilité d'exprimer S sous forme de somme de produits ou encore d'exprimer S sous forme le produit de sommes. Pour exprimer S sous forme de somme de produits, nous allons considérer les sorties où S vaut 1. Alors, pour avoir l'expression de S, on va prendre la somme des mintermes pour lesquels la sortie vaut 1. Les mintermes sont résumés ici dans ce tableau. Si nous prenons l'exemple de la première ligne, nous avons le minterme qui est associé qui vaut A barre ET B barre ET C barre. Et si nous prenons le dernier minterme, ça vaut A ET B ET C. Donc la sortie S sous forme de somme de produits vaut alors : S égale A barre ET B ET C barre, OU A barre ET B ET C, OU A ET B barre ET C, OU encore A ET B ET C barre. Si nous voulons exprimer la sortie S sous forme de produit de sommes, alors là on considère les 0. La sortie S vaut alors le produit des maxtermes pour lesquels la sortie vaut 0. Les maxtermes sont résumés ici dans ce tableau. Alors le premier maxterme, comme nous considérons les 0, le maxterme qui est associé à la première ligne vaut A OU B OU C, et le dernier maxterme vaut A barre OU B barre OU C barre. Donc la sortie S vaut alors A OU B OU C, ET A OU B OU C barre, ET A barre OU B OU C, ET A barre OU B barre OU C barre. Une fonction logique peut s'exprimer sous la forme d'une somme de produits : à ce moment, la sortie vaut la somme des mintermes pour lesquels S vaut 1 ; ou encore sous forme de produit de sommes, et à ce moment, la sortie vaut le produit des maxtermes pour lesquels S vaut 0. Ces deux expressions sont donc équivalentes. On pourrait éventuellement les simplifier. La simplification des fonctions logiques vise l'objectif de réduire le nombre de termes intervenant dans l'expression de la fonction, mais également la réduction du nombre de variables intervenant dans chaque terme, l'objectif étant de réduire le nombre de portes logiques nécessaires à la réalisation du circuit, et du coup, le coût de réalisation. Cette simplification peut se faire en utilisant les propriétés de l'algèbre de Boole. Les deux opérateurs ET logique et OU logique sont commutatifs. Nous avons également la propriété d'idempotence. A ET A vaut A, A OU A vaut A. On peut aussi extrapoler sur n, A ET A ET A, ça vaut A. La propriété des constantes. A représente ici n'importe quelle variable logique. Nous avons A ET 0, ça vaut 0. A ET 1, ça vaut A. A OU 0, ça vaut A, et A OU 1, ça vaut 1. La complémentation. Une variable ET son complément, ça donne 0, une variable OU son complément, ça donne 1. La propriété de distributivité. L'algèbre de Boole présente la distributivité du ET par rapport au OU. Nous avons également la distributivité du OU par rapport au ET. Les deux opérateurs sont associatifs. Nous avons ici pour l'opérateur ET et ici pour l'opérateur OU. Et nous allons terminer les propriétés par le théorème de De Morgan. Nous avons A ET B, le tout barre, égale A barre OU B barre. Il suffit de casser ici la barre et de remplacer l'opérateur ET par l'opérateur OU. L'inverse est aussi valable, A OU B, le tout barre, ça vaut A barre ET B barre. Il suffit de casser ici la barre et de remplacer le OU par un ET logique. Nous venons de voir les éléments de base du système logique à travers l'algèbre de Boole, conçu autour d'opérateurs logiques, que nous avons abordés à travers les différentes portes logiques de base, ainsi que des portes logiques dérivées. Nous avons également abordé l'expression mathématique d'une fonction logique, et nous avons terminé cette leçon par les propriétés de l'algèbre de Boole. Ces différents éléments seront utilisés dans la synthèse des circuits logiques combinatoires.
