[MUSIC] Hola, bienvenidos al tema de integrales, que es parte de la semana del teorema del valor promedio de la velocidad. Aquí si recuerdan en el tema anterior del teorema de la velocidad promedio, nos quedamos que el desplazamiento de una partícula se interpreta como el área bajo la curva de la curva de velocidad. Y decíamos que lo podemos calcular con el teorema del valor promedio. Sin embargo en gráficas de velocidad que son arbitrarias, que no cambian uniformemente, tendríamos que hablar de aproximación. Y quedamos que la mejor aproximación, es decir, de manera exacta, sería una sumatoria infinita. Es decir que tendríamos que tener un número infinito de intervalos en donde en cada uno de ellos calculemos el pequeño desplazamiento, por medio del teorema del valor promedio de la velocidad. Entonces tenemos que el desplazamiento sería la sumatoria desde i igual a 1, hasta infinito de la velocidad promedio en el intervalo i, por el intervalo i. Esa sería la definición del desplazamiento a partir de una gráfica de velocidad. Ésto se conoce en matemáticas como una integral definida. Entonces la definición de desplazamiento en función de velocidad, nos quedaría como la integral, desde el tiempo 1 hasta el tiempo 2. Ahí está el intervalo, de la función de velocidad de t. Se fijan que cambiamos de una sumatoria infinita a una integral. Todas las integrales en realidad son sumatorias, tendrán sus diferentes significados. Y estaríamos hablando con diferentes cantidades físicas de diferentes tipos de sumatorias, diferentes tipos de integrales. Pero finalmente la integral es una sumatoria. En este caso específico, lo que estamos sumando son pequeños desplazamientos. Esos desplazamientos los sumamos desde el tiempo t1 hasta el tiempo t2. Entonces tenemos un ejemplo en donde calculábamos el desplazamiento de la partícula de 0 a 14 segundos, cuando esta gráfica de velocidad observamos que no cambia uniformente. Bueno, aquí podemos encontrar el desplazamiento exacto como la integral de 0 a 14 segundos de v de t. Si nosotros tuviéramos la función de la velocidad, pudiéramos hacer el cálculo analítico del desplazamiento. Entonces lo podemos generalizar. El desplazamiento de la integral de la velocidad con respecto al tiempo. Como definición general podemos hablar de una integral como una antiderivada. Si se tiene una función, por ejemplo, F(t) como la derivada de f minúscula con respecto al tiempo. Entonces, la función minúscula f(t) es la antiderivada o la integral indefinida de la F. Y se escribe como f es igual a la integral de F mayúscula de t. Ésta es la definición de una antiderivada. Para poder trabajar con el desplazamiento a partir de gráficas de velocidad o de funciones de velocidad. Entonces veamos las reglas de antiderivadas. Éstas son tres reglas, son tres pequeñas reglas de antiderivadas que vamos a observar. Si yo, la primera, si yo tengo la integral de dt. Es decir la función es 1, se fijan que la función es b(t). En este caso la función es 1. Sería la integral de dt es igual a la variable t más una constante. La segunda regla me dice que si yo integro una constante multiplicada por una función dt, es decir aF(t) dt. Lo que obtendríamos es A por la integral de f dt, de t. Es decir, las constantes en las integrales salen de la integral. Y luego tengo la tercera, la tercera me dice que si yo tengo la integral de una suma o resta de dos funciones puedo separarlas. Puedo decir que la integral que sería la integral de g dt, más o menos, dependiendo si es una suma o resta, la integral de g dt. Entonces yo tendría estas tres reglas que son muy importantes de antiderivadas. Otra cosa que tenemos que saber, que tenemos que entender son las antiderivadas comunes que nos van a servir para poder encontrar las integrales de varias funciones. Estas son comunes, es decir las tenemos que aprender. Si yo tengo la función t a la n, donde n diferente de -1, resulta que la integral de t a la n de t, el resultado es t a la n más 1 sobre n más 1. Es decir, la integral de t cuadrada de t, sería t cúbica sobre 3. La integral de t cúbica sería t cuarta sobre 3. La integral de 1 dt, 1 sobre t, es decir la integral de dt sobre t es logaritmo natural de t más una constante. La integral de seno de t de t, eso nos da menos el coseno de t más una constante. La integral del coseno de t de t, nos va a dar seno de t más una constante. Y por último, la integral de la función exponencial de e a la t de t, nos queda e a la t más una constante. Es decir no cambia. La función, la integral de una de una exponencial no cambia. Estas, como los digo, son antiderivadas comunes que nos tenemos que aprender. Veamos un ejemplo. Aquí tenemos una función de velocidad que está dada por 2 t cúbica menos 3 coseno de t, metros por segundo. Y queremos encontrar una función de posición para todo tiempo t. Bueno, la función de posición sería la integral indefinida, sin límites, de v(t)dt. Entonces yo lo que tengo que hacer es integrar esta función. Entonces integro 2t cúbica menos 3 coseno de t dt. Para eso, primero utilizo la tercera regla. ¿Por qué? Porque tengo una sumatoria de funciones. En este caso la función 2 t cúbica y la función 3 coseno de t. Están restándose. Entonces para poder integrar lo que tengo que hacer es utilizar esta tercera regla. Y decir que la integral de 2 t cúbica menos 3 coseno de t dt es igual a la integral de 2 t cúbica dt menos la integral de 3 coseno de t dt. Vamos a utilizar también la segunda regla. Nos dice que las constantes que están multiplicando la función pueden salir de la integral. Observen que en ambos casos, en ambas integrales, nosotros tenemos una constante. En el primer caso tenemos un 2, un 2 que multiplica a t cúbica. Entonces sería la integral de 2 t cúbica de t. Nos quedaría 2 por la integral de t cúbica de t. En el segundo caso tengo un 3. Sería, la integral de 3 coseno de t dt. Me quedaría 3 por la integral del coseno t dt de t. Y por último, utilizamos las antiderivadas comunes. Yo sé que la integral de t a la n dt es igual a t a la n más 1 sobre n más 1, más una constante. Y la integral de coseno de t es igual al seno de t más una constante. Bueno, utilicemos estas 2 antiderivadas o integrales. En el primer caso, tenemos la integral de t cúbica de t. Esto me quedaría t cuarta sobre 4. Y la integral de coseno de t es seno de t. Entonces, se fijan, si utilizamos un poquito de álgebra nos quedaría 2 que multiplica a t cuarta sobre 4 menos 3 seno de t más una constante. Y por lo tanto, me queda que la función de posición de esta velocidad es 1/2 de t cuarta menos 3 seno de t más una constante. Entonces si queremos el desplazamiento, you sabemos cómo calcular la función de posición, lo que tenemos que hacer es integrar, hacer exactamente lo mismo. Pero una integral definida, es decir colocándole los índices de integración o los límites de integración. Y para ello, una vez que hagamos la antiderivada, calculemos la antiderivada, lo que tenemos que hacer es evaluar. Con un ejemplo esto va a quedar muy claro. Tengamos la función de velocidad 2 t metros por segundo. Queremos encontrar el desplazamiento desde 1 hasta 2 segundos. Ese es nuestro objetivo. Para ello vamos a utilizar la definición del cambio de posición. El cambio de posición sería la integral de v(t)dt desde 1 hasta 2 segundos. Entonces sustituyo la función de velocidad que es 2t. Coloco, o sea la integral de 1 a 2 de 2tdt e integro. En este caso utilizo las reglas y la antiderivada común nos queda 2 que multiplica a t cuadrada sobre 2 más una constante. Bueno, voy a evaluar desde t igual a 1 hasta t igual a 2. ¿Qué significa evaluar? Bueno, la evaluación se hace de la siguiente manera. Si yo tengo la función 2 t cuadrada sobre 2 más una constante. Eso es lo que tengo que evaluar en el índice superior. Y también lo tengo que evaluar en el índice inferior. Y lo tengo que restar. Es decir la evaluación en el índice superior, menos la evaluación de la función en el índice inferior. En el primer caso es un 2, es el índice superior. Yo tendría 2 multiplicado por 2 al cuadrado sobre 2 más una constante menos la evaluación de la función en el índice inferior que sería 1. Sería 2 por 1 al cuadro sobre 2 más una constante. Las constantes siempre se me eliminan, de tal manera que me queda el desplazamiento como 3.0 metros. [COUGH] Se fijan hasta el momento hemos hablado solamente del desplazamiento. Que es la suma infinita de área bajo la curva de una función de velocidad. En la física existen muchas cantidades físicas que son integrales de otras cantidad física. No solamente tenemos el desplazamiento, tenemos otras cantidades físicas que son integrales de cantidades físicas. Siempre que tengamos una suma infinita que proviene de intervalos podremos usar integrales. Y como en el siguiente ejemplo van a ver: si yo hablo del cambio de velocidad, aquí tendría que hablar de una integral de una función, en este caso de la función aceleración. Este es otro ejemplo más en donde podemos utilizar las integrales. Habíamos visto que la aceleración es la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. En forma contraria el cambio de velocidad será entonces la integral de la aceleración en función del tiempo. Entonces aquí nos queda la definición del cambio de velocidad. El cambio de velocidad sería la integral definida desde t1 hasta t2 de la aceleración de t. Si yo quisiera la función de velocidad para todo tiempo t, entonces tiene que ser una antiderivada o integral indefinida en donde me quedaría la integral de a(t)dt. Eso sería un ejemplo de otra cantidad física, en este caso la velocidad, que depende en forma de integral de otra cantidad física que en este caso sería la aceleración. Bueno, con esto terminamos, les agradezco su atención.
