Hola bienvenidos a Introducción a Vectores. Los voy a poner en una situación. Pensemos que estamos en la ciudad de Monterrey y que acaban de salir del museo de arte contemporáneo del Marco. En la ciudad de Monterrey. Y quieren ahora visitar el museo de historia mejicana. Entonces no saben dónde está el museo de historia mejicana. Entonces preguntan, y les dicen, bueno, lo único que tienen que hacer es caminar 800 metros. ¿Qué hacen ustedes?. Caminan 800 metros. Sí. 800 metros pudieran estar en un lugar que es muy diferente al Museo de Historia Mexicana. Si caminan en otro sentido, vamos a pensar que vamos a caminar hacia el este, pues terminaríamos en el río Santa Catalina. No es un lugar que pueda estar el Museo de Historia Mexicana. Tiene que caminar 800 metros hacia el norte, y ahora sí, encontrar el museo de historia mexicana. Aquí, lo importante es que necesitan tener una dirección. No solamente el número de 800 metros. Se necesita un valor, en efecto, 800 metros tenían que caminar, pero también necesitan la dirección. Entonces en este caso específico si queremos irnos desde el Marco, desde el museo de arte contemporáneo, hasta el museo de historia lo que tenemos que hacer es caminar 800 metros hacia el norte. Entonces un vector tiene un valor que se le conoce como su magnitud, en este caso 800 metros. Tiene una dirección que se puede indicar con ángulos. En este caso era aproximadamente hacia el norte, en lo que tenemos que caminar. Se representan gráficamente por medio de flechas, tal que el tamaño de la flecha es proporcional a la magnitud del vector, y hacia dónde apunta la flecha, es la dirección del vector. Se representan en forma analítica, con manipulación algebraica por medio de diferentes maneras. Por ejemplo, se puede representar por medio de una letra con una flecha arriba, una letra en negritas podría ser una representación de un vector en forma analítica. Se representa la magnitud de un vector por medio de el valor absoluto de las barras pararelas dirían el valor absoluto del vector tal, lo que significaría es la magnitud del vector, esas serían sus representaciones. Entonces podemos utilizar los puntos cardinales para representar un vector. En el ejemplo que teníamos antes eso hicimos. Teníamos la macroplaza, en donde veíamos que podíamos representar el vector de 800 metros hacia el norte. En este caso represento a este vector por ejemplo, que es un vector digamos de cinco metros de magnitud con dirección hacia el norte, ese es un vector muy específico. Tenemos otro vector que puede ser igual de cinco metros, pero en otra dirección y sería un vector diferente. Un vector de desplazamiento de 5 metros, en este caso hacia el Oeste. O pudiera ser un vector que tenga una dirección que está entre el Este y el Norte, entonces para eso ¿Qué necesitamos?. Necesitamos especificar cuál es la dirección por medio de un ángulo por ejemplo en este caso, por el ángulo que hace 50 grados el vector, la dirección del vector hace 50 grados con el este. Entonces necesitamos magnitud y dirección y a veces ángulos. Bueno, vamos a ponernos en la posición de estar ahora en el campus Monterrey, del tecnológico Monterrey en aulas dos, y aquí les presento el mapa. Estamos en aulas dos, y queremos desplazarnos hacia rectoría, rectoría está aquí. Y para poderse desplazar desde aulas 2 hasta rectoría lo que tenemos que hacer es caminar un desplazamiento de 62 metros con un ángulo entre el oeste y el norte aproximadamente de 45 grados. Eso tendríamos que hacer. Sin embargo, vamos a pasar por el pasto y no queremos estropear el pasto ¿entonces qué tenemos que hacer? Bueno tenemos que hacer diferentes desplazamientos. Pudiéramos hacer, por ejemplo, un desplazamiento hacia el norte de 44 metros. Con eso nos encontraríamos you cerca de rectoría. Posteriormente hacemos un desplazamiento de 43 metros hacia el oeste, y con eso llegamos, llegamos a rectoría. Esto significa que si nosotros sumamos el desplazamiento de 44 metros hacia el norte, y el desplazamiento de 43 metros hacia el oeste, lo que obtendríamos es el desplazamiento que queríamos hacer. Es decir el desplazamiento desde aulas 2 hasta rectoría. Aquí con esto, vemos la necesidad de tener la suma de vectores, tenemos que hacer una operación suma de los vectores, y si llamamos a los vectores A y B, entonces tendríamos que el vector C es igual a A más B. Esa sería la operación. Entonces en forma vectorial tendríamos un triángulo que tendríamos que resolver. Y en forma analítica tenemos la suma vectorial. El vector C es igual al vector A más el vector B. Si se fijan en esta representación vectorial por medio de este triángulo, podemos encontrar una regla para la suma de vectores. Dice la regla: el vector suma será un vector que empieza en el primer vector sumando y termina en la flecha del segundo vector sumando. Como en este caso, el vector C empieza en el inicio del vector A y termina en el final del vector E. Esa sería la suma de A+B. Entonces esto se le conoce como el método del triángulo, le tendríamos que poner su nombre. Método del triángulo, nos especifica que el vector suma será un vector que empieza en el primer vector sumando, y termina en la flecha del segundo vector sumando. Por ejemplo si yo tengo el vector E y el vector G representados y yo quiero encontrar la suma G + E. Lo que tengo que hacer es colocar el inicio del vector E al final del vector G, como si fuera un vector de desplazamiento, y hacer la suma. De acuerdo al método del triángulo sería desde el inicio del vector G hasta el final del vector E, esa sería la suma G+E. Se fijan que lo que nos queda es un triángulo otra vez, entonces para poder resolver esta suma de vectores, tenemos que hacer una solución de triángulos. En el caso de que el triángulo sea un triángulo rectángulo, utilizaríamos las reglas que hemos aprendido de seno, coseno, tangente de los triángulos rectángulos, y el teorema de pitágoras. En caso de que el triángulo no sea rectángulo, como en este caso es un triángulo no rectángulo, entonces tendríamos que hacer uso de ley de senos y cosenos para estos triángulos. Bueno, los vectores de desplazamiento como el que se muestra de 44 metros hacia el norte también puedo yo sumarlos entre si, es decir, yo puedo hacer una suma del vector A más el vector A. El desplazamiento de 44 metros hacia el norte, más un segundo desplazamiento de 44 metros hacia el norte. Lo que obtendría yo es un vector que es el vector A más el vector A, nos da un vector que es dos veces el vector A. Entonces M sería un vector que es dos veces el vector A, sería un vector de 88 metros con dirección norte. Ésto se le llama la multiplicación por un escalar. Si yo tengo un vector C cualquiera, y si yo quisiera multiplicar ese vector C por un escalar, por ejemplo el escalar 3, si yo tengo el vector 3C, el vector resultante de esta multiplicación por escalar sería tres veces el vector C. Es decir, la magnitud del vector sería tres veces la magnitud del vector C y la dirección es la misma. Si yo tengo 0.5 C, este sería el escalar 0.5, el resultado sería un vector cuya magnitud sea 0.5 veces la magnitud del vector C y su dirección es la misma que el vector C. Entonces, si el escalar es positivo lo que tenemos es que el resultado de la multiplicación es un vector que tiene como magnitud n veces, la magnitud del vector original, y su dirección no cambia. Si tenemos, por ejemplo, una multiplicación por escalar negativo ahí tenemos alguna diferencia. Por ejemplo, en el caso de multiplicar un vector, en este caso el vector C por un -1, tendríamos el vector -C. Pues este es un vector que tiene la misma magnitud que el vector C, sin embargo su dirección es opuesta. De la misma manera si tenemos -1.5 C. Es la multiplicación del escalar -1.5 por el vector C, en este caso, la magnitud de este vector resultante es 1.5 veces la magnitud del vector C, y su dirección es opuesta. Si el escalar entonces es negativo, entonces la magnitud es igual que en el anterior caso, cuando el escalar era positivo. La magnitud es n veces la magnitud del vector original. Sin embargo la dirección de este vector resultante cambia, es opuesta. Cuando tenemos la resta de vectores, si nosotros entendimos la suma de vectores y la multiplicación por escalar, entonces la resta de vectores queda sencilla, ¿Por qué? Porque si yo tengo la resta G -E por ejemplo, lo que tengo que hacer es una suma en realidad. Si yo sumo al vector G, el vector -C, lo que obtengo es la resta G-C. Es lo que vamos hacer en este ejemplo, una operación suma entonces entre el vector y el negativo del segundo vector, en este caso G-C. Si yo tengo G- C, lo que obtengo es, primeramente, el- C, para poder sumarle posteriormente el G. Entonces hago la suma del G, del vector G y el vector -E. Para eso pongo, recuerden, el inicio del vector -E en el final del vector G y la suma será desde el inicio del vector G hasta el final del vector -E. De tal manera que este vector sería el vector resta de los vectores G y E. Bueno, pensemos ahora que tenemos una caja. Si alguien ejerce una fuerza hacia la derecha, qué va a suceder, pues muy probablemente la caja se vaya a mover hacia la derecha. Si tenemos en lugar de una fuerza hacia la derecha, la fuerza es hacia arriba; probablemente esta caja se movería hacia arriba. ¿Pero qué pasaría si ejercemos dos fuerzas: una fuerza hacia la derecha y una fuerza hacia arriba? Bueno, esta caja muy probablemente se mueva en forma diagonal. Ésto nos da la concepción de otro método de suma de vectores, cuando tenemos vectores fuerza es muy fácil pensar que las fuerzas se aplican sobre un mismo objeto. Entonces podemos obtener vectores que se suman desde un mismo origen. Lo que tenemos entonces es el método del paralelogramo. Si yo tengo que voy a sumar dos vectores A + B, lo que hago es juntar los dos vectores A y B en un mismo inicio. Después lo que tengo que hacer es graficar rectas paralelas al vector B al final del vector A, y recta paralela al vector A al final del vector B. De tal manera que la suma de A+B, sería desde el inicio de los dos vectores hasta donde se cruzan las dos rectas paralelas. Este sería el método del paralelogramo. El método del paralelogramo o el método del triángulo nos tiene que dar exactamente el mismo resultado. Nada más que las conceptualizaciones de los métodos son diferentes. En el primer caso lo tratamos de entender por medio de vector en desplazamiento. En el segundo caso por medio de vectores fuerza. Sin embargo el resultado es exactamente el mismo. Bueno, calculemos algo un poco más complejo. Si yo quisiera calcular el vector D: A-B+C por ejemplo, y tengo estos tres vectores representados ahí en la figura. Bueno, lo que tengo que hacer es por partes. Puedo hacer la operación A-B primeramente y posteriormente sumarle el vector C. Para ser A-B pues tengo que sumar en realidad A y el vector -B. Entonces tendría yo que tener el vector -B. Obtengo el vector -B, recordando que el vector -B es exactamente igual al vector B pero en dirección opuesta. Sumo A y menos B por el método que ustedes quieran, en este caso lo voy hacer por el método del triángulo entonces sumo el vector A y el vector -B, lo que nos queda es el vector A-B, o el vector A+(-B). Y posteriormente le sumo el vector C. El vector C lo que hago es colocar el vector C al final del vectro A-B y obtengo entonces que desde el inicio del vector A-B, hasta el final del vector C, sería el vector A-B+C, sería una operación un poco más compleja. Otra operación compleja sería el vector 3A-2B. El vector 3A-2B pues no es más que tres veces el vector A menos dos veces el vector B, o podría yo decir tres veces el vector A más dos veces el vector -B. Eso sería lo que vamos hacer. Primero tenemos el vector 3A, el vector 3A lo obtenemos haciendo que la magnitud del vector 3A es tres veces la magnitud del vector A y no le cambiamos la dirección. Posteriormente obtenemos el vector -2B. Que sería un vector que es dos veces la magnitud del vector B pero en dirección opuesta, ahí está. Ahora lo que hacemos es sumar este vector 3A y este vector -2B, para eso utilizamos el método del triángulo y obtenemos desde el inicio del vector 3A hasta el final del vector -2B, la operación 3A-2B. Bueno, con esto terminamos el tema. Nos vemos en el siguiente tema. [MUSIC]
