Итак, ядро может содержать кучу, так сказать, дележей. Целое вот двумерное семейство, пожалуйста, — шестиугольник: можно из него как-то выбирать что-то, — ну потом мы обсудим, как можно было бы, в принципе, выбирать, — а пока мне хочется привести пример не столь радужный. К сожалению, существуют игры, причем очень просто устроенные игры, в которых ядро пусто. Пример основополагающий для кооперативной теории игр, и основополагающий в следующем очень интересном смысле слова: довольно мало наук начинаются с глубокого противоречия, вот кооперативная теория игр именно такова. Еще таковой является наука об общественном выборе, хотя там до противоречия шли очень долго. Его предположили где-то 200 лет назад, а возникло оно в 1950 году, когда Кеннет Эрроу доказал теорему о диктатуре. То есть общественный выбор, наука общественного выбора началась с осмысления теоремы о диктатуре. Так же кооперативная теория игр начинается с очень неприятного факта, что ядро, вроде бы такое наиболее логичное понятие, нет ничего более логичного, чем вот такие требования на дележ, так вот, к сожалению, ядро может быть пустым, и в этом случае совершенно непонятно, как, собственно, делить. Давайте я приведу пример. Итак, пример «Месторождение». Три бизнесмена-бандита — Алексей, Виктор и Степан (имена совпадают случайно с той историей) — обнаружили в далеких лесах Восточной Сибири месторождение золота, большие залежи золота, и оценили стоимость этого месторождения в один, скажем, миллиард долларов. Они обнаружили его как-то независимо друг от друга, их разведки обнаружили, и все на него претендуют. Правила поведения в соответствующих кругах таковы, что если кто-то может кого-то уничтожить, то он это делает. Соответственно, все они примерно равной силы, и любые двое могут одолеть третьего. Поэтому речь идет о следующей кооперативной игре: V[ABC] = 1, V[A] = V[B] = V[C] = 0. Никто по отдельности не может себе обеспечить контроль над месторождением. Однако любая пара может третьего убрать и обеспечить полностью контроль над месторождением. Вот эта простейшая кооперативная игра обладает пустым ядром. Действительно, как выглядят условия? Давайте посмотрим. Ну условия отрицательности мы не будем писать — они очевидны. XA + XB + XC = 1, но при этом XA + XB ≥ 1, XA + XC ≥ 1 и XB + XC ≥ 1 Ясно, что эти условия несовместимы. Из этого условия сразу должно следовать, что XC = 0, но из этого условия следует, что XB = 0, а из этого, что XA = 0. Но тогда их сумма ≠ 1. То есть ядро пусто, соответствующее пересечение полуплоскостей является просто пустым множеством. Нет ни одного дележа, то есть любой дележ, который можно здесь предложить, сразу же бракуется. Ну конечно, вы скажете: «А как же вот такой дележ?» И я скажу: «Конечно, он бракуется, например, первыми двумя или последними двумя». То есть здесь нет дележа ни одного, который можно было бы предложить и сказать, что это решение игры. Любой такой дележ будет забракован. Ситуация пустоты ядра, к сожалению, не редкость, и с этим как-то надо жить: кооперативная теория игр вынуждена с этим жить, с этим фактом, что самая простая игра, которую только можно выдумать, обладает пустым ядром. И следовательно, мы не можем ожидать чего-то прорывного от нашей науки, потому что ну что она может сделать прорывного, когда она порождает ситуацию вот такую вот противоречивую сразу же, на первой же минуте. Ну вот хочется придумать тогда, хочется придумать какое-то решение на случай пустоты ядра. На самом деле даже в случае вот с музыкантами: стоит немножко изменить цифры, как ядро тоже окажется пустым. Давайте рассмотрим какую-нибудь более реальную ситуацию, чем описанная здесь. Эту ситуацию сложно представить для музыкантов, что любая пара зарабатывает столько, сколько тройка. Давайте подправим немножко цифры и рассмотрим такой пример. Значит, V[A] = 18 теперь, V[B] = 12, V[C] = 6. Ну хуже стала ситуация, так сказать, вообще стали меньше кидать, ну еще и, так сказать, здесь вот дополнительно: AB могут заработать 114, AC могут заработать 108, BC — только 30. Ну и наконец, ABC могут заработать 120, то есть лишь не сильно больше, чем AB, то есть немножко больше. Давайте убедимся в том, что ядро здесь будет пустым. Давайте посмотрим, какие у нас получаются условия, выпишем их, например, вот здесь. На этой доске выпишем, какие получаются у нас условия. Значит, XA, XB и XC, и потом нарисуем эти условия на треугольнике, на стандартном треугольнике для кооперативной игры с тремя участниками. Значит так: прежде всего, ни одно из значений не может быть меньше, чем соответствующее одиночке: 18, 12 и 6. Это, конечно, не так страшно, давайте посмотрим на верхние границы. Значит, XB + XC = 30, значит, XA не может быть больше, чем 90. Дальше, XA + XC = 108, следовательно, XB ≤ 12. А XA + XB = 114, и поэтому, чтобы гарантировать им их 114, XC ≤ 6. Посмотрите, как все красиво вырождается. Оказывается, что XB и XC в ядре обязаны в точности равняться некоторым числам, а именно соответственно 12 и 6. Но тогда чему равно XA? Если так, то XA = 120 − 12 − 6, потому что их сумма равна 120. То есть она равна 102, но 102 выходит за пределы допустимой зоны. То есть можно и раньше это увидеть, что раз XB и XC равны соответственно 12 и 6, то их сумма равна 18. Но они в сумме могут заработать 30, поэтому такой дележ они забракуют, то есть единственный дележ, который удовлетворяет этим двум условиям, они забракуют вдвоем. Поэтому при этих условиях, если вот такие вот суммы выплат наличествуют, то ядро оказывается пустым и в игре с нашими подземными музыкантами. Что тогда делать, мы увидим в следующим сюжете.
