Pasamos ahora a la semántica. Modelo y satisfacción son los conceptos principales y terminamos con algunos conceptos adicionales, que son consecuencia lógica, equivalencia lógica y, por último, satisfacción y validez. Empezamos con este ejemplo. Supongamos que nos dan esta oración y nos preguntan si es cierta o falsa. La respuesta es que depende. Depende de la situación o escenario que vamos a formalizar en un modelo. Por ejemplo, si usamos base 10, es falsa. Pero si usamos base 2, es cierta. Un modelo ahora va a ser lo siguiente. Un universo, que es un conjunto que vamos a llamar A. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales. Además, por cada símbolo de función f, tenemos una función que va del conjunto de tuplas de n componentes tomadas del universo al universo. Por ejemplo, el símbolo, +, podría corresponder a la función suma de dos números naturales. En el caso de n igual a cero, se trata de una constante y asociamos un elemento del universo a esa constante. Finalmente, por cada símbolo de predicado P, nos dan una relación sobre el universo, es decir, un conjunto de tuplas de tamaño n de elementos del universo. Por ejemplo, el símbolo, =, podría corresponder a la identidad. Es importante distinguir entre f y f con superíndice M. La f sin superíndice es un símbolo, mientras que la f con superíndice M es una función, similarmente con los símbolos de predicado. Ligado al concepto de modelo está el concepto de interpretación de un término. Nos vamos a restringir a términos sin símbolos de parámetro. Hay dos casos para la interpretación de un término t sin símbolos con respecto a un modelo M que escribimos como t con superíndice M. Si t es un término simple c, entonces la interpretación de c es el valor de c superíndice M, o sea, el elemento que corresponde a c en el universo. Si t es un término compuesto con símbolo de función f, entonces debemos aplicar la función correspondiente a f a la interpretación de los componentes de t. Para la ilustrar la interpretación de un término, vamos a regresar al ejemplo anterior. Para simplificar las cosas, vamos a reescribir la oración de esta manera. Aquí Es es un símbolo de predicado con dos términos. Más es un símbolo de función para términos con dos componentes. Recordemos que no podemos anidar símbolos de predicado pero sí símbolos de función. Uno y diez son constantes. Este modelo nos dice que el símbolo uno representa el número uno. El símbolo diez representa el número diez. El símbolo más representa la suma. Y el símbolo Es representa la igualdad entre números naturales. Como la pareja 2,10 no está en la relación asociada a Es, la oración no es cierta en este modelo. En este otro modelo, en cambio, el símbolo diez representa el número dos y hace cierta a la oración. Debemos ahora formalizar la noción de cuándo un modelo hace cierta a una oración. Para propósitos de computación, nos basta con tratar fórmulas cerradas, es decir, sin ocurrencias libres. Pueden tener símbolos de parámetro, pero esos símbolos de parámetro deben ocurrir en el alcance de un cuantificador. Supongamos fórmulas alfa, beta, existe x, gama y para toda x, gama cerradas. Y un predicado y un término t sin símbolos de parámetro. Todo modelo hace cierto a cima. Ningún modelo hace cierto a fondo. Un predicado P de t1 hasta tn es cierto en M si la tupla obtenida de interpretar cada t con respecto a M está en la relación asociada a P. Si no, este predicado es falso. La negación y la conjunción se tratan como de costumbre. Una fórmula gama precedida de un cuantificador existencial de x es cierta en M si y solo si reemplazando x por algún término sin símbolos de parámetro resulta en una fórmula cierta en M. Podemos pensar en el cuantificador existencial como una generalización de la disyunción para todo el universo. Una fórmula gama precedida de un cuantificador universal de x es cierta en M si o solo si reemplazando x por todos los términos sin símbolo de parámetro resulta en fórmulas ciertas en M. Podemos pensar en el cuantificador universal como una generalización de la conjunción para todo el universo. Como la hicimos con las otras lógicas, pasamos ahora a consecuencia lógica. Como de costumbre, esta M denota el conjunto de modelos que hacen cierta a una fórmula. Un conjunto de fórmulas lógicamente implica otra si todos los modelos que hacen ciertas a todas las fórmulas del lado izquierdo también hacen cierto al lado derecho. En particular, un lado izquierdo vacío indica que nos referimos a todos los modelos, o sea, que el lado derecho es una tautología. Recordar que el torniquete de satisfacción está sobrecargado. Dos fórmulas son lógicamente equivalentes si tienen los mismos modelos. Esas son algunas equivalencias en las que vemos que la disyunción y la conjunción son duales. De manera similar, el cuantificador existencial y el cuantificador universal son duales. El cuantificador existencial, que es una especie de disyunción, distribuye sobre la disyunción. Y el cuantificador universal, que es una especie de conjunción, distribuye sobre la conjunción. [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA]
