[MUSIQUE] Bonjour, dans cette session, nous allons étudier deux concepts fondamentaux en théorie des groupes, et aussi en théorie de Galois, celui de sous-groupes distingués, et celui de groupes quotients. Partons d'un groupe, G, et d'un sous-groupe, H. On a déjà vu, dans une session précédente, que les parties du type, g H, qui sont donc l'ensemble des produits petit g, petit h, avec h dans grand H, forment une partition de grand G. On note, G sur H, cet ensemble de parties. Donc c'est un ensemble dont les éléments sont des parties de grand G. Si G est fini, le cardinal de cet ensemble est, cardinal de G divisé par cardinal de H. On va essayer de mettre une structure de groupe sur cet ensemble, G sur H. Alors pas n'importe comment, la façon naturelle de faire c'est de poser que le produit de deux éléments de G sur H, c'est-à-dire g H et g prime H, ça devrait être égal à, g, g prime, H. Il y a cependant un problème avec cette définition, parce que l'écriture, g grand H, d'un élément de G sur H, n'est pas unique. On peut toujours remplacer, petit g, par n'importe quel produit, g h, pour petit h appartenant à H. Donc pour que le produit soit bien défini, avec la formule ci-dessus, on doit pouvoir remplacer, g par, g h, et g prime par, g prime h prime, et le résultat doit rester inchangé, c'est-à-dire qu'on doit avoir, pour tout h et h prime dans H, g h, g prime h prime, doit être encore dans, g, g prime, grand H. Si on simplifie cette expression, on s'aperçoit que cela signifie que, h, g prime, doit appartenir à, g prime, grand H ; ou encore, quelque soit h dans H, quelque soit g prime dans G, on a, g prime moins 1, h g prime, appartient à H. Un sous-groupe, grand H, de G, vérifiant cette propriété, s'appelle un sous-groupe distingué. Donc tous les sous-groupes ne l'ont pas, cette propriété, c'est une propriété spéciale, qui va nous permettre de mettre une structure de groupe sur, G sur H, grâce à la formule ci-dessus. L'élément neutre de cette structure c'est l'élément, grand H, c'est-à-dire, e H, de G sur H. Et l'application, qu'on note, Pi, de G dans, G sur H, qui, à petit g, associe, g, grand H, est un morphisme de groupe surjectif, dont le noyau est, précisément, grand H. Donc c'est cela qu'on appelle, un groupe quotient. On part de, grand H, sous-groupe distingué de G, et on met sur l'ensemble, G sur H, la structure de groupe, que je viens d'expliquer. Inversement, partons d'un morphisme de groupe, f, entre g et g prime, alors son noyau, K, est un sous-groupe distingué de grand G, c'est facile à vérifier à partir de la définition, et on peut factoriser f, en la composée de la surjection Pi, de G dans G sur K, et d'un morphisme de, G sur K, dans G prime, que j'ai noté, f barre. Donc on n'a pas vraiment le choix, l'application Pi est bien définie, f barre doit envoyer g K, sur, f de g. Donc il faut vérifier, bien sûr, que, f de g, ne dépend pas de nouveau de l'écriture d'un élément de, G sur K, sous la forme, g K, mais c'est facile à faire. Le morphisme de groupe, f barre, ainsi défini, est injectif. Plus généralement, si, grand H est un sous-groupe distingué de G, un morphisme, f, de G dans un autre groupe, G prime, se factorise comme ci-dessus, par l'application Pi, si et seulement si H est contenu dans le noyau de f. Dans le cas où le groupe G est abélien, tout sous-groupe est distingué. On peut donc toujours, pour tout sous-groupe, H, de G, considérer le groupe quotient, G sur H. Par exemple, dans le cas où G est égal à Z, un sous-groupe H, est toujours de la forme, n Z, avec n, entier naturel, et G sur H, n'est autre que le groupe, Z sur n Z, que vous connaissez. L'image inverse par l'application de Z, dans, Z sur n Z, d'un sous-groupe de, Z sur n Z, est un sous-groupe de Z contenant le noyau de cette application, c'est-à-dire contenant, n Z. Il s'écrit donc, comme tout sous-groupe de Z, sous la forme, m Z, et il faut que m divise n pour que ce sous-groupe contienne, n Z. Ainsi, notre sous-groupe H prime de, Z sur n Z, est l'ensemble des classes des multiples de m, modulo n. Pour vérifier que vous avez bien compris cette construction, je vous propose un petit quizz. Revenons aux groupes de permutation. Je vais présenter un exemple important de sous-groupe distingué, du groupe, S n. Donc définition. Le noyau du morphisme signature, qui va de, S n, dans le groupe, moins 1, plus 1, s'appelle le groupe alterné, A n, c'est un sous-groupe distingué de, S n, de cardinal, factorielle n sur 2. Alors quelques mots d'explication. Le fait que, A n, soit distingué, c'est parce que c'est le noyau d'un morphisme, le fait qu'il est de cardinal, factorielle n sur 2, demande un petit peu plus de justifications. Donc je vous rappelle, tout d'abord, la factorisation du morphisme epsilon. Cette factorisation produit un morphisme, epsilon barre, injectif, du groupe quotient, S n, sur, A n, vers le groupe, moins 1, plus 1. Comme epsilon est surjectif, epsilon barre est aussi surjectif, c'est donc un isomorphisme. Le groupe quotient, S n, sur, A n, est donc isomorphe au groupe à deux éléments, moins 1, plus 1 ; il est donc, en particulier, de cardinal 2. Si je reprends la formule qui donne le cardinal d'un groupe quotient, donnée au début de la session, je vois que le cardinal de, S n, divisé par cardinal de, A n, est égal à 2 ; ce qui nous donne le cardinal de, A n. On a vu, dans une session précédente, que toute permutation peut s'écrire comme produit de transposition. De façon non unique. Dans le cas où la permutation est un élément du groupe alterné, A n, le nombre de transpositions qui interviennent dans une telle décomposition est toujours pair. En effet, la signature d'une transposition est, moins 1, donc, si la signature du produit est, plus 1, il faut qu'il y ait un nombre pair de termes dans le produit. Je vais maintenant regarder de plus près comment on peut écrire le produit de deux transpositions, a b, d'une part, fois, c d, d'autre part. Dans le cas où, a, b, c, d sont tous distincts, on vérifie à la main que ce produit peut aussi s'écrire comme produit de deux, trois cycles, a, c, b d'une part, et, a,c,d d'autre part, dans l'ordre qui est indiqué sur l'écran. Dans le cas où b est égal à c, et où, a, b, d sont distincts, le produit des deux transpositions est lui-même un trois cycles, le trois cycles, a, b, d. On remarque que, on couvre ainsi tous les cas possibles, si on prend en compte le fait qu'une transposition, a b, peut aussi s'écrire, b a. Et de même, c d, peut aussi s'écrire, d c. On a donc montré que le produit de deux transpositions peut toujours s'écrire comme produit de trois cycles. Revenons à notre élément de, A n, on a démontré qu'il est toujours produit de trois cycles, c'est-à-dire que, le groupe, A n, est engendré par les trois cycles. Nous avons ainsi fait le tour des propriétés du groupe symétrique, du groupe alterné, dont nous aurons besoin ; nous avons introduit la définition des sous-groupes distingués, de groupe quotient ; tous ces ingrédients seront essentiels pour la théorie de Galois, et nous les verrons dès la prochaine session. Je vous remercie de votre attention, et à bientôt. Au revoir.
