[AUDIO_VIDE] Bonjour et bienvenue à ce MOOC de thermodynamique. Cette leçon est consacrée aux transformations de Legendre. Dans un premier temps, on va motiver physiquement ces transformations de Legendre qui sont d'ordre mathématique. Dans un deuxème temps, on va établir la transformée de Legendre d'une fonction d'une seule variable. On va ensuite dans un troisième temps, étendre ceci à une fonction de plusieurs variables. Puis dans un quatrième temps, on va établir un lien explicite entre les transformées de Legendre et leurs courbures. Et pour terminer, on va définir une transformée de Legendre multiple. l'énergie interne joue un rôle capital en thermodynamique. L'énergie interne, c'est une fonction d'état de variables extensives. U est fonction de l'entrepièce, du volume V et de l'ensemble du nombre de moles des différentes substances du système. On aimerait obtenir des fonctions d'état qui ont la même dimension physique que l'énergie interne. Ce sont donc d'autres formes d'énergie qui dépendent d'une ou de plusieurs variables intensives. On aimerait par exemple une fonction d'état qui dépend de la température. Appelons cette fonction d'état, la fonction F. F sera donc une fonction de T, de V et de l'ensemble des Na. On aimerait aussi une fonction d'état qui dépende de la pression. Appelons cette fonction, H. H sera alors une fonction de S, de p et de l'ensemble des Na. On aimerait également une fonction qui dépende de la température et de la pression. Appelons cette fonction G. G sera donc fonction de T, de p et de l'ensemble des Na. Les fonctions F, H et G sont obtenues par transformations de Legendre de l'énergie interne U. On dit que c'est les transformées de Legendre. La transformation de Legendre de l'énergie interne U par rapport à l'entropie donne la fonction F qui dépend de la température. La transformation de Legendre de l'énergie interne U par rapport au volume donne la fonction H qui dépend de la pression. Et la transformation de Legendre de l'énergie interne U par rapport à l'entropie et au volume donne la fonction G qui dépend de la température T et de la pression p. On va maintenant déduire l'expression de la transformée de Legendre d'une fonction. Alors, on prend une fonction d'état F qui dépend d'une seule variable X qui est une variable extensive. Et on veut obtenir l'expression de la transformée de Legendre de F qui est la fonction G et qui dépend d'une variable intensive qui est Y. Y est la grandeur conjuguée à X par rapport à U. Elle jouit donc de la propriété suivante : Y(X) est la dérivée de F(X) par rapport à X. On va maintenant représenter ceci sur un diagramme. Donc on a la fonction F(X), c'est la courbe qu'on voit ici. et on trace une tangente à cette courbe en un point donné. Et cette tangente en traitillés va intercepter l'axe vertical au point G. La pente de cette tangente, c'est Y. Y est défini comme le rapport de la dénivellation, c'est-à-dire F moins G, puisque G est négatif, divisé par la distance horizontale, c'est-à-dire X moins 0. À l'aide de cette identité, on peut maintenant obtenir une expression explicite de la transformée de Legendre G(Y) de la fonction F(X). X, une fonction de Y. G(Y), c'est F(X(Y)) moins Y fois X(Y) Ce résultat, on peut maintenant le généraliser à une fonction de plusieurs variables. On prend donc une fonction d'état F qui est fonction de n variables extensives, X1, X2, etc., jusqu'à Xn. Et on veut obtenir la transformée de Legendre de la fonction F par rapport à la variable Xi. La nouvelle variable, c'est la variable Yi. La variable Yi, c'est une variable intensive. Donc les autres variables, tous les autres X sont inchangés, il y a donc n moins 1 variables extensives dans l'expression de G. Yi est une grandeur intensive qui est conjuguée à Xi. Par définition, elle jouit donc de la propriété suivante : Yi est égal à la dérivée partielle de F par rapport à Xi. On pourrait aussi représenter ceci sur un graphique. Et on aurait exactement la même situation que pour une fonction d'une variable à part pour le fait qu'on remplace X par Xi et Y par Yi. Ce qui nous donne l'identité suivante : Yi égal F moins G divisé par Xi moins 0. On peut donc énoncer l'expression de la transformée explicite de Legendre, G(F). G est égal à F moins Yi Xi. On peut également lier les courbures de deux fonctions qui sont liées par une transformation de Legendre. Ces fonctions, c'est les fonctions F et G. G est égal à F moins Yi Xi. Et donc F est égal à G plus Xi Yi. Compte tenu de la dépendance en termes de variables d'état de ces deux fonctions, on peut maintenant déterminer les dérivées partielles de ces fonctions. La dérivée partielle de G par rapport à Yi premièrement est égale à la dérivée partielle de F par rapport à Xi fois la dérivée partielle de Xi par rapport à Y. moins Xi moins Yi qui multiplie la dérivée partielle de Xi par rapport à Yi. Et puis, la dérivée partielle de F par rapport à Xi, c'est Yi. Donc, le premier terme et le troisième terme se simplifient et il nous reste le deuxième terme qui est égal à moins Xi. Deuxièmement, la dérivée partielle de F par rapport à Xi, c'est la dérivée partielle de G par rapport à Yi fois la dérivée partielle de Yi par rapport à Xi, plus Yi plus Xi fois la dérivée partielle de Yi par rapport à Xi. Et la dérivée partielle de G par rapport à Yi, c'est moins Xi. Donc, le premier terme et le troisième terme se simplifient. Il nous reste le deuxième terme qui est Yi. On peut maintenant calculer l'expression des courbures de ces deux fonctions par rapport à la variable sur laquelle on effectue la transformation de Legendre. La courbure, c'est la dérivée partielle seconde. Donc la dérivée partielle seconde de G par rapport à Yi est égale à moins la dérivée partielle de Xi par rapport à Yi. Et puis, de manière analogue, la dérivée partielle seconde de F par rapport à Xi est égale à la dérivée partielle de Yi par rapport à Xi. Par conséquent, on en conclut que la dérivée partielle seconde de G par rapport à Yi est égale à moins l'inverse de la dérivée partielle seconde de F par rapport à Xi. En d'autres termes, si on effectue une transformation de Legendre, la courbure de la transformée de Legendre a le signe opposé à la fonction de départ. Et sa norme est égale à l'inverse de la norme de la fonction de départ. Pour terminer, on va définir une transformation de Legendre multiple. On considère une fonction d'état de n variables extensives. Cette fonction, c'est la fonction F qui dépend de X1, X2, jusqu'à Xn. Et on effectue n transformations de Legendre. Au final, on obtient la fonction H qui est égale à F moins la somme de i égal 1 à n de Yi Xi. Et cette fonction H qui est la transformée de Legendre multiple dépend de n variables intensives. H est donc fonction de Y1, Y2, etc., jusqu'à Yn.
