La ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el punto h, k y eje de simetría paralelo a los ejes coordenados está dada por 2 ecuaciones. Una, que es la vertical con vértice también en h, k y que abre hacia arriba o abre hacia abajo. Su ecuación está dada por x menos h elevado al cuadrado igual a 4p por y menos k, en la que si la cantidad 4p, que es el lado recto, es mayor que 0, la parábola abre hacia arriba o es cóncava hacia arriba, también se dice. Y si la cantidad 4p es menor que 0, la parábola abre hacia abajo o es cóncava hacia abajo. La ecuación ordinaria o canónica de la parábola con vértice en el punto h, k y eje de simetría paralelo al eje de las x está dada por y menos k al cuadrado igual a 4p por x menos h, donde, igual, si 4p es mayor que 0, es una parábola que abre a la derecha y si 4p es menor que 0, es una parábola que abre a la izquierda. Hagamos un ejercicio. Sea una parábola con vértice en el punto 1,1, eje de simetría paralelo al eje x, y foco en el punto 1,5. En el inciso a, obtengamos su ecuación. En el inciso b, escribamos su lado recto. En el inciso c, realizamos su gráfica, incluso con la directriz. De los datos, el vértice está en el punto 1,1 y el foco en el punto 1,5, por lo que observamos que al estar el foco arriba del vértice es una parábola que abre hacia arriba y he utilizado la ecuación x menos h al cuadrado igual a 4p por y menos k, de la cual desconocemos el valor de p, pero p lo podemos obtener al restar las ordenadas, o sea, p va a ser igual a 5 menos 1 igual a 4. Sustituimos en la ecuación. Nos queda x menos h al cuadrado igual a 4 por 4 por y menos k, quedando x menos h al cuadrado igual a 16 por y menos k. Pero aún necesitamos sustituir el vértice h,k. Este es h, igual a h,k. Y queda x menos 1 al cuadrado igual a 16 por y menos 1, que es la ecuación ordinaria de la parábola que abre hacia arriba y con eje de simetría paralelo al eje y. El lado vector de esta parábola es 4p igual a 16. Para hacer un dibujo aproximado de ella, tenemos el lado recto, el vértice y el foco. Hagamos los ejes y subdividamos en la escala adecuada. De a una unidad está bien. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Y el eje vertical también de a uno. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ahora, de este lado igual, menos 1, menos 2, menos 3, menos 4, menos 5, menos 6 y menos 7. Ahora tracemos el vértice en 1,1. El foco, 1,5. Aquí está el foco en 1,5. Y luego, igual que en los ejercicios anteriores, el lado recto se divide entre 2; 16 entre 2, 8. Y del foco, 8 a la derecha y 8 a la izquierda, 1 más 8, llegamos hasta 9. Y tengo otro puntito. Luego, 1 menos 8, llegamos hasta menos 7. Y tengo otro puntito. Ahora puedo hacer un croquis de mi parábola, donde el punto más bajo es el vértice y de ahí vuelve a subir. Para que les quede más claro lo que hasta el momento hemos estudiado, les presento una representación gráfica más precisa. En ella pueden observar que la distancia que hay entre el foco y el vértice es de 4 unidades y que la distancia que hay entre el vértice y la directriz también es de 4 unidades. Para obtener la ecuación de la directriz, restamos a la ordenada 1 del vértice 4 unidades y llegamos a y igual a menos 3, que es conocida como la ecuación de la directriz. Hagamos otro ejercicio. Sea una parábola con vértice en el punto 1,1, eje de simetría paralelo al eje de las x, y foco en el punto menos 5,1. En el inciso a, obtengamos su ecuación. En el inciso b, escribamos su lado recto. En el inciso c, realicemos la gráfica, incluso con su directriz. De los datos, el vértice está en el punto 1,1 y el foco está en menos 5,1, y su eje de simetría es paralelo al eje de las x. Observando el vértice y el foco, entonces debe ser una parábola que abre a la izquierda. Usamos la ecuación de la parábola horizontal: y menos k al cuadrado igual a 4p por x menos h, donde h y k es el punto 1,1; h, k. Sustituyendo nos queda y menos 1 al cuadrado, igual a 4p por x menos 1, donde todavía nos falta el valor de p. Pero como abre a la izquierda, se hace la resta de las abscisas. En este caso la abscisa de la derecha es 1 y la de la izquierda es menos 5. Hacemos la resta: p igual a 1 menos menos cinco y nos queda 6. Eso vale p y sustituimos. Pero como es una parábola que abre a la izquierda, el lado recto debe ser negativo. Y nos queda y menos 1 al cuadrado igual a menos 24 por x menos 1, que es la ecuación de la parábola con eje de simetría paralelo al eje de las x y que abre a la izquierda. El lado recto de esta parábola es 4p igual a menos 24, pero se toma en valor absoluto, o sea positivo, por ser una distancia. Para hacer una gráfica aproximada de tal parábola tenemos el lado recto, el vértice y el foco. Hagamos los ejes y subdividamos a una escala adecuada, y, x. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. De este lado 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Menos 1, menos 2, menos 3, menos 4, menos 5, menos 6, menos 7, menos 8, menos 9, menos 10, menos 11, menos 12, menos 13, menos 14, menos 15. Y de este lado, igual. 1, 2, 3, 4, 5. Menos 5, menos 6, menos 7, menos 8, menos 9, menos 10, menos 11, menos 12, menos 13, menos 14, menos 15. Tracemos el vértice 1,1 y el foco menos 5,1. 1, 2, 3, 4, 5. El lado recto, igual que en los ejercicios anteriores, se divide entre 2. 24 entre 2, 12. Y a partir del foco se recorren 12. Entonces, estoy en 1, llego a 13. Y 13 para abajo también. Estoy en 1 y le sumo 12. Sería 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Llego a 11. Y puedo trazar un croquis de la parábola. La directriz está a p unidades del vértice. Para que les sea más claro, observen en el dibujo siguiente que la distancia entre el foco y el vértice es p igual a 6 unidades. Y que esta es la misma distancia a que debe estar alejada la directriz del vértice, por lo que al sumar estas 6 unidades a la abscisa del vértice, resulta que la ecuación de la directriz es x igual a 7.
